Abelprisen går i år til Mikhail Gromov

Det er nå offisielt at Mikhail Gromov er årets vinner av Abelprisen. Gromov er et navn som ofte ble nevnt på seminarer og konferanser da jeg var på UiB. I algebraisk geometri har vi noen rasjonale tall som bærer navnet Gromov-Witten invarianter. Disse spiller en viktig rolle i moderne fysikk (strengeteori) og selvsagt også i matematikk (klassifisering av såkalte symplektiske mangfoldigheter).

Abelkomiteen skriver følgende om Gromov:

Mikhail Gromov er alltid på jakt etter nye spørsmål og tenker hele tiden på nye ideer som kan bidra til å løse store problemer. Han har produsert dypt og originalt arbeid gjennom hele sin karriere og er fremdeles i besittelse av en usedvanlig skaperkraft. Gromovs arbeid vil fortsette å være en kilde til inspirasjon for mange fremtidige matematiske oppdagelser.

Et godt valg!

Matematikk er best

På sidene til matematisk instututt (UiB) kom jeg over en interessant artikkel fra The Wallstreet journal. Artikkelen viser at den beste jobben man kan ha er å være matematiker. Tabellen under viser rangeringen. - Er ikke jeg heldig!

The Best	The Worst
1. Mathematician	200. Lumberjack
2. Actuary	199. Dairy Farmer
3. Statistician	198. Taxi Driver
4. Biologist	197. Seaman
5. Software Engineer	196. EMT
6. Computer Systems Analyst	195. Roofer
7. Historian	194. Garbage Collector
8. Sociologist	193. Welder
9. Industrial Designer	192. Roustabout
10. Accountant	191. Ironworker
11. Economist	190. Construction Worker
12. Philosopher	189. Mail Carrier
13. Physicist	188. Sheet Metal Worker
14. Parole Officer	187. Auto Mechanic
15. Meteorologist	186. Butcher
16. Medical Laboratory Technician	185. Nuclear Decontamination Tech
17. Paralegal Assistant	184. Nurse (LN)
18. Computer Programmer	183. Painter
19. Motion Picture Editor	182. Child Care Worker
20. Astronomer	181. Firefighter

Laget en screencast...

Vi jobber med sannsynlighet i S2 og etter ønske fra elevene laget jeg følgende screencast. Jeg viser hvordan vi kan sette opp Excel til å regne ut sannsynligheter en binomisk fordeling.


Sannsynlighetsfordeling med Excel from Tor Espen Kristensen on Vimeo.

Må snart kjøpe wii til ungene!

Det er inn med elektroniske tavler for tiden (jeg var på Bett) og også vi har en slik tavle på vår skole. De er dyre og jeg er ikke helt overbevist om at de er verdt pengene. Projektor med vanlig presentasjon og en grønn tavle ved siden av funker bra det. Men så kommer jeg over følgende video på youtube. Det er Johnny Chung Lee som står bak et Wii-remote projekt. Dette skulle jeg gjerne ha prøvd ut, men i vårt hus er det Playstation det går i...

Normalfordeling med GeoGebra

Laget en liten sak i GeoGebra som illustrerer at dersom X er normalfordelt stokastisk variabel, så vil G(z)=P(X < μ+zσ) kun er avhengig av verdien for z og ikke forventningen μ og standardavviket σ. Tanken er å bruke illustrasjonen for S2 elevene. Jeg er litt usikker på hvor bra slike illustrasjoner egentlig er siden de ikke beviser noe som helst. Hva sitter elevene igjen med ette slike illustrasjoner? Vil de være motuvert for et mer formelt bevis?

I akkurat dette tilfellet er det ikke så farlig, siden et formelt bevis er helt uaktuelt uansett. I S2 skal de kun finne integraler digitalt.

Skyv først på gliderene for μ og σ og se hva som skjer. Hva kan du slutte av det? Endre så på verdien for z og se hva som skjer.














Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



Normalfordeling.gbb

Undervisningsevaluering

Denne uken har skolen jeg jobber på hatt undervisningsevaluering. Hver lærer skal bli evaluert i to fag. Således er det kanskje mer korrekt å kalle det for lærerevaluering., for det er det den er. Det er bra å evaluere undervisningen. Å få tilbakemelding fra elever er noe som jeg tar for en selvfølge. Men dette opplegget er jeg meget skeptisk til. Det blir for personlig for den enkelte lærer. Vi blir rett og slett for sårbare. De fleste som jobber som lærere gjør det fordi de liker fag og det å jobbe sammen med elever. Dersom en lærer kommer dårlig ut i en slik undersøkelse sier det seg selv at det kan få konsekvenser som går dypt inn i sjelelivet. Jeg har faktisk hørt om lærere som har gitt seg på grunn av slike undersøkelser. Jeg har også hørt elevene si at de er lei seg for at de ikke fikk ta den og den læreren - nå som de kunna ha fått sjansen.

Jeg skulle ønske at slike evalueringer ble mer evaluering av undervisningen (som helhet) og ikke som en ventil der enkelte elever kan få ta den og den læreren. Men en slik måte å evaluere undervisningen forutsetter at vi jobber mer i team. Men det vil vi vel ikke ha?

Her finner du forresten spørsmåla fra undersøkelsen.

Wiki i underviningen

Nå har elevene i Fysikk 1 jobbet noen uker med Wiki i Fysikk 1 og jeg må si at dette har vært gøy å følge med på. Elevene har virkelig jobbet godt! En stund nå har de jobbet parallelt med andre emner i Fysikk 1. Wikien kommer selvsagt aldri til å bli stengt, så her har elevene mulighet til å vise kompetanse helt fram til siste dag.

Vi jobber nå med astrofysikk og da jeg spurte elevene om de hadde forslag til hvordan vurderingen i dette temaet skal foregå var det wiki som var dominerende. Et par elever ville heller ha prosjektarbeid med skriftlig rapport. Dette ble forklart med at de følte at andre elever «stjal» deres tema i og med at de var litt kjappere ute med å skrive på wikien. Dette er noe jeg må tenke på når vi nå jobber med wiki igjen. Denne gangen kan du finne wikien på astrofysikk.wikispaces.com. Vi har nettopp startet opp, så det ligger ikke så veldig mye der i dag (19. mars). Men her vil det kommer mer!

-Er litt spent på å se om wiki vil fenge elevene nok engang. Vi får se!

Har jeg det i meg?

Tok testen http://www.hardudetideg.no/test som er en del av gnist. Dette er et tiltak for å øke rekruteringen til læreryrket. Det er bra. Men jeg må si at jeg er litt skeptisk å få svar at jeg absolutt bør bli lærer siden jeg er så kunnskapsrik og forstår mennesker. I følge testen kan jeg si:

Jeg er en menneskekjenner - og kunnskapsrik også! Jeg burde definitivt vurdere lærerutdanning! Det vil være spennende for meg faglig - og som menneske. For mye av kunnskapen jeg får som lærerstudent, vil jeg få bruk for ellers i livet også.

Hvorfor så skeptisk? Jeg svarte bare tullesvar (som at pi er 3,14 fordi pi-guden har bestemt at det er det tallet skal være). -Har en mistanke om at alle får samme svar. Og det er ikke bra. For jo, vi trenger flere lærere. Men de som skal inn i dette fantasiske yrket må ha interesse for fag og være særiøse. Det er ikke alle som har det i seg! Eller?

Sosiale medier og fokus på fag...

Leser at mange av bloggerne som jeg leser er på ITSL- konferanse i Bergen. Jeg også kunne vel tenke meg å være der, så litt misunnelse kan jeg vel si er tilstede. Ser at en av stjernene på konferansen er Michael Wesch. Han er blitt youtube-kjendis med noen av filmene han har laget om sosiale medier.

Filmen jeg har lagt inn under prøver å vise dagens studenter og jeg må si at dersom dette er rett, så har vi et problem. Web2.0 og sosiale medier er bra. Men dersom resultatet er at studentene vil «kun lese åtte bøker dette året» (som står på den ene lappen) og at de bruker mer tid på Facebook enn på å fokusere på fag, så er vi ille ute!

Et av poengene til Wesch (slik jeg forstår ham) er at nye kommunikasjonsformer og medier kan påvirke oss mennesker på en radikal måte. Dagens ungdom vil derfor ha en annen forståelse av kunnskap og læring enn det vi eldre har (ikke det at jeg er så gammel!). Men da er vel dilemmaet vårt som lærere at vi på den ene siden ønsker at elevene skal fordype seg i fag (det er det vi vil -- ikke sant?) og bli tenkende og reflekterte mennesker. Men på den andre side, så kan vi ikke distansere oss fra elevenes verden heller. Nå det er sagt, så er det ikke min erfaring at elevene er slike digital natives som det så ofte blir hevdet. Det er ikke slik at alle elevene blogger, twitter, kommenterer youtube-filmer eller hva det nå måtte være. Kort sagt: de er ikke så sosiale som det ofte antas at de er.

Ukenummer i Google kalender

Jeg, som mange andre, bruker Google kalender. Kom forleden over et tips fra HovsWeBlog. Bare klikk på denne lenken! Lenken er tatt fra denne siden.

Arkimedes' tilnærming av π

Nedenfor ser du en demonstrasjon av de regulære mangekantene som Arkimedes brukte til å finne en tilnærmingsverdi for π. Sirkelen har radius lik 1 og det er innskrevet og omskrevet to regulære n-kanter. Du kan skyve på n for å øke antall kanter og på den måten få en bedre tilnærming av π:













Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Arkimeds startet egentlig med et Hexagon (regulær seks-kant) og delte denne igjen i en 12-kant, så en 24-kant osv helt til han fikk en 96-kant. Ut fra dette fant han at

3 10/71 < π < 3 1/7.

Arkimedes var ikke den eneste som kom på en slik teknikk for å finne en tilnærmet verdi for π. Liu Hui fant i ca 264 eKr følgende tilnærming ved å bruke polygoner med 192 kanter: 3,141024 < π < 3,142704 og ved å bruke et polygon med 3072 sider fant han at π ≈3,14159

Svenskene kan det!

Her er et flott bevis for pytagoras setning. Det er faktisk Euklids originale bevis fra Euklids Elementer I Proposisjon 47:



Med det samme jeg er i gang med å dele artige filmer fra youtube: her er en du bare må se! Hva er det som går galt her?



Denner er heller ikke så verst:

Er det bare meg?

Sitter her og jobber med oppdatering av årsplaner i de ulike fagene jeg underviser i. I den forbindelse kan jeg ikke la være å myse litt på hvor langt andre er kommet og det slår meg at jeg stort sett alltid ligger litt bak andre lærere (med noen få unntak). Vi har et ganske stort pensumpress i videregående skole og det er liksom veldig viktig å komme igjennom alt stoffet. Men er det en ting jeg har lært så langt i min yrkeskariere, så er det dette at der er forskjell på å ha «hatt det» og å «ha lært det». Derfor prøver jeg å ikke gå for fort fram i pensum, men ønsker å la elevene få jobbe seg godt inn i stoffet.

Et annet problem er å prøve ut digitale verktøy i faga. I Fysikk 1 jobber elevene for tiden med å lage en wiki om kjernefysikk. - Ja, du leste riktig. Vi holder enda på med kjernefysikk! De fleste som underviser etter Ergo fysikk er nå godt uti kapittel 8 om Astrofysikk og så jobber vi altså med kjernefysikk fremdeles...

Jeg tror jeg skal klare å «komme igjennom», men det vil bli på hengede håret i år...

Hvilke fag underviser du i?

Av ren nysgjerrighet skulle det være artig å finne ut hvilke fag leserne av denne bloggen underviser i (antar de fleste er lærere). I margen til høyre har jeg laget en undersøkelse. Klikk på de fagene du underviser i da!

IKT og resonnering

Jeg har i et tidligere innlegg vært inne på dette med kreativ resonnering i matematikkfaget. Jeg vil i dette innlegget utdype hva jeg legger i dette og hva det betyr for bruk av digitale verktøy i matematikkfaget.

Selve begrepet «Kreativ resonnering» blir brukt av Johan Lithner i artikkelen A framework for analysing creative and imitative mathematical reasoning. Han definerer resonering som

Mathematical reasoning is defined as any type of reasoning that concerns mathematical task solving.

Resonnering er noe vi gjør hver gang vi argumenterer for noe. Her er to eksempler

• Hvis jeg hopper uti vannet, så blir jeg våt.
• Hvis Ole er to år større enn meg, så er han 8 år

Her er noen flere eksempler på spørsmå som opfordrer til resonnering av en eller annen sort:

• Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets?
• Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen?
• Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de bo 3,2 km fra hverandre.
• Dersom summen av to tall er et oddetall, så må ett av tallene være et partall og det andre et oddetall.

Vi finner en vektlegging av resonneringskompetanse i LK06, spesielt i beskrivelsen av de grunnleggende ferdighetene. Det tales om å kunne resonnere og komunisere ideer, elevene skal kunne stille spørsmål, argumentere og forklare en tankegang ved hjelp av matematikk.

Men hva legger vi så i det å kunne resonnere? Det er her jeg har funnet god hjelp i Lithners artikkel. I artikkelen skiller han mellom kreativ og imitativ resonnering. Disse inndeles igjen i globale og lokale kreative resonement, algoritmisk og memorisert reseonnering slik figuren under viser.
La osse se på et eksempel. Dersom vi har røde og blå klosser, hvor mange tårn kan du da bygge med tre klosser? Denne oppgaven kan løses på flere måter. En kreativ måte er å «skape løsningenen» som vist under.

En annen måte å løse oppgaven på er å bruke formelen for antal ordnede utvalg med tilbakelegging: Dersom vi gjør n forsøk der det er k muligheter i hvert forsøk, så fins det i alt kⁿ mulige kombinasjoner. Vi kan bruke dette i eksempelet over å få at det er 2³=8 muligheter.

Begge disse to måtene å løse oppgaven på handler om kompinatorikk, men ulik type kompetanser vektlegges. I et tidligere innlegg har jeg antydet at det er den siste som blir vektalgt i videregående skole. Når jeg har holdt kurs for lærere, så har jeg ofte hørt kommentarer av typen «Men elevene må jo lære...» Det vil si: elevene må jo lære denne eller denne formelen. På den måten blir kreativ resonnering lite verdsatt i skolen.

Lithner kommer med følgende kriterier for at et resonnement skal kunne kalles kreativt:

• Originalitet: Resonneringen er ny (for den som resonnerer) eller gjenoppdaget
• Fleksibilitet: Den som resonnerer tillater ulike tilnærminger og tilpasninger til situasjonen
• Plausibilitet: Den som resonnerer har argumenter som støtter de valg eller strategier som brukes og som gir en pekepinn på hvorfor konklusjonene er sanne.
• Matematisk fundert: Den som resonnerer har argumenter som er fundamentert på matematiske egenskaper til komponentene som er involvert i resonneringen (ikke bare på overflaten)

Et eksempel til: Hva er 3⁴·3⁵? Her kan vi tenke oss at elevene løser oppgaven på to måter:

1. 3⁴·3⁵=3·3·3·3·3·3·3·3·3= 3⁹


2. Det er 3⁴⁺⁵=3⁹

Den første løsningen kan være kreativ for eleven, den andre kan være imitativ algoritmisk resonnering.

Hvilken type resonnering er det så elevene gjør når de jobber med digitale verktøy? Jeg kan ikke her uttale meg generelt, men vil kun komme med noen betraktninger som jeg har gjort i forbindelse med min egen undervisning. Vi bruker Excel og GeoGebra i undervisningen. En vanlig oppgave eleven kan få er å finne vendepunktet til en graf. I GeoGebra er dette lett å gjøre. Dersom det er et polynom f(x), er det nå nok å gi kommandoen Vendepunkt[f] og vips så har vi vendepunktet. Dette er hva Lithner vil kalle familiaritetsresonnering. Vi bare vet at slikt finner vi ved å gjøre dette eller dette. I dette tilfellet en viss kommando i GeoGebra. Det samme kan vi si når det gjelder å finne nullpunkt, topp-/bunnpunkt etc. Det sier seg selv at det ikke er mye læring i denne måten å bruke verktøyet på. Min påstand er at dersom digitale verktøy skal få en merverdi for elevene, så må vi skifte fokus fra imitativ resonnering og over på kreativ resonnering.

Dette synes jeg er en stor utfordring. Det krever andre typer oppgaver og en annen type tilnærming enn hva som er vanlig. Det fordrer en problemløsningsfokus som jeg påstår vi ikke har i norsk skole. Heller ikke i amerikans eller tysk skole har de dette. James W. Stigler og James Hiebert skriver om dette i boka The Teaching Gap. Denne er bassert på TIMSS video studies som analyserer undervisningen i tre land (USA, Tyskland og Japan). Av disse tre landa var det kun i Japansk skole at det ble arbeidet med problemløsning. En av lærerne fra USA som var med på analysearbeidet ble inspirert av den Japanske måten å undervise på og ville derfor prøve det hjemme med sine egne elever. Resulatet? Det fungerte over hode ikke! Hvorfor det? Stiegler og Hiebert argumenterer med at det hele koker ned til ulik skolekultur. Det var rett og slett ikke kultur for en slik måte å jobbe på i USA.

Hva så med norsk skole? Har vi kultur for en problemorientert undervisning? Det er min erfaring at vi absolutt ikke er klar for dette. Det kan vi tydelig se på oppgavene som blir gitt ved eksamen og på vektleggingen i lærebøkene. Mitt spørsmål er da: Hva med IKT og matematikklæring? Er vi modne for en slik innføring? Vil vi klare å få elevene til å jobbe med kreativ resonnering? Eller blir pc-en kun en fordummende boks som gir alle svarene som det blir spurt om uten at eleven vet hva det hele dreier seg om?

Hva er spesielt med denne dagen?

Nerdede som jeg er, så lar jeg meg rive med. I dag er det kvadratrotdagen! Ja, du leste riktig! Det er nemlig 3.3. 09 i dag! Dette ser jo nettopp ut som 3*3=9 - ikke sant? Det er 10 slike datoer i løpet av et århundre. Disse er:
10.10.100 (ok -- denne er litt tvilsom)
1.1.01
2.2.04
3.3.09
4.4.16
5.5.25
6.6.36
7.7.49
8.8.64
9.9.81

Det er med andre ord over syv år til neste gang (høres jeg ut som Ødegård nå?)

Det var forøvrig forkning.no som gjorde meg oppmerksom på denne rariteten...

Det er vår!

Litt rart å skrive et innlegg om våren midt i vinterferien. Men slik føles det i hvert fall! Da jeg var en liten tur tidligere i dag fikk jeg rene vårstemningen. Her er et bilde fra turen som viser at jeg ikke er alene...