Integrasjonsbegrepet

Vi jobber med integrasjon og har denne uken sett på omdreiingslegemer. Det vil si at vi har rotert grafen til en funksjon om x-aksen og så beregnet volumet av dette ved å dele opp volumet i disker med radius lik og tykkelse dx. Volumet blir da

Dette er standard pensum i R2 og det er ikke dette jeg vil skrive om her. Jeg liker å slenge litt ut med ekstra utfordringer til elevene og det gjorde jeg også denne gang. Her er oppgaven:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius R og indre radius r (som vist på figuren under)

 

En måte å løse denne oppgaven på er å finne en (eller flere) funksjoner som vi kan rotere om x-aksen. I dette tilfellet kan vi rotere øvre og nedre del av sirkelen som vist på figuren under:

 

 

Det vil si at vi først roterer den øvre (røde) halvsirkelen og deretter den nedre (blåe) halvsirkelen. Volumet av torusen blir da differansen til disse.

Det vil si at

 

og

 

Det er vel unødvendig å si at disse integralene kan være vanskelige og til dels tekniske å løse og det er vel derfor vi har CAS-verktøy!? Jeg bruker her wxMaxima og gjør følgende utregninger:

Altså ser vi at volumet av torusen er .

 

Vakkert? Kanskje det, men bare vent til du får se hva en av elevene kom opp med. I stedet for å gå rett løs på teknikken (slik jeg gjorde i mitt hode), så hadde denne eleven forstått selve integrasjonsbegrepet ganske godt. Så her er hvordan han tenkte:

Vi kan kutte torusen opp i mange små biter som tilnærmet blir sylindre.

 

Dersom vi snur annen hver av disse «kakestykkene» får vi noe som likner på følgende figur:

Figuren kan være noe missvisende, siden dette ikke er et todimensjonalt objekt, men noe som likner på  en syliner med radius r.  Deler vi opp i stadig flere slike, så vil det bli mer og mer lik en sylinder. I grensen vil det bli likhet. Hva er så høyden i denne sylinderen? Siden begge sidene nå er like lange, så blir det midt mellom ytre og indre omkrets i torusen. Den ytre omkretsen er

og den indre omkretsen er. Meidt mellom disse er da . Volumet blir derfor. Altså det samme som vi fant ved hjelp av wxMaxima.

 

Kult ikke sant!

Digitale verktøy i matematikklæring…?

Med bærbar pc på pulten har elevene større tilgang på digitale hjelpemidler enn med en vanlig kalkulator. På vår skole bruker vi følgende programmer i undervisningen: Excel, GeoGebra og wxMaxima. Foruten disse har også elevene kalkulator – de fleste en grafisk kalkulator.

I dette blogginnlegget vil jeg reflektere litt over bruken av slike verkøtøyprogram i forhold til elevenes læring av matematikk. Jeg vil ta for meg programmet wxMaxima og se på noen eksempler som belyser ulike utfordringer knyttet til ulike oppgavetyper elevene jobber med.

wxMaxima er et symbolmanipulerende verktøy. Det innebærer at du med dette kan finne eksakte løsninger på ulike oppgaver. Vil du løse liknikngen $x^3-2x+1=0$? Ingen problem. Du skriver likningen inn i programmet og klikker på OK og vips så får du ut de tre eksakte røttene: $x=1,x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2} , x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

Hva har så dette med matematikk å gjøre? Svaret er ganske enkelt: ingen ting! Men dette betyr ikke at slike digitale verktøy er meningsløse i matematikklæring. Tverrt om! Poenget er at slike verktøy ikke er hensiktsmessige i elevens matematikklæring når det gjelder slike typer oppgaver. Jeg bruker en hovedregel i min undervisning at før elevene får bruke slike digitale vertøy i deres arbeid med matematikken, så skal de først ha jobbet med fagstoffet for hånd. I videregående har vi nå todelt eksamen, så det vektlegges at elevene skal kunne løse ulike oppgaver uten hjelpemidler. Det er først når dette er på plass at de digitale vertøyene tilbys. Så da blir det naturlige spøsrmålet: hvorfor det? Hvofor i det hele tatt tilby elevene slike vertøy?

Vi kan dele bruke av IKT i matematikkfaget i to grove kategorier:

1. IKT som forenkler. Vi kan bruke IKT til å fornkle ulike oppgaver slik at vi slipper å bruke så mye tid til tekniske detaljer.
2. IKT til nyskaping. Vi kan bruke digitale vertøy til nye typer oppgaver på en måte som ikke er mulig uten digitale vertøy.

I R2 skal elevene regne ut vektorprodukt til vektorer i rommet. Dette er litt styr og det er lett å gjøre en slurvefeil. Formelen for et slik produkt er $ [u_1, u_2, u_3]\times [v_1, v_2, v_3 = [u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1]$

Her kan det regnes som en velsignelse å kunne skrive dette inn i wxMaxima og få svaret rett ut:

Ut kommer svaret: $\vec{u}\times\vec{v}=[16, -14, 10]$.

Hva så med den andre kategorien? Kan det tenkes at vi kan bruke digitale vektøy på nye typer oppgaver til elevene? Dette er en stor utfordring for matematikklærere! Hvilke oppgaver passer til våre elever? Hvor finner vi de ulike oppgavene? Hvordan jobbe med elevene? Jeg ser at følgende oppgave ofte blir gitt når elevne skal bruke digitale verktøy på i matematikkunderviningen:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter. Velg to nullpunkt og la T være tangenten til f i x lik middelverdien til de to nullpunktene. Hva kan du si om denne tangenten?

Her er vi ute etter Lorents Bies setning som sier at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet. 

Å oppdage denne sammenhengen er en ting. Dette synes jeg er lettest å gjøre i GeoGebra. Men å vise det generelt er en annen ting. Dette krever en annen form for matematisk kompetanse enn å løse ferdig oppstillte oppgaver. Ideelt sett er det en slik kompetanse vi vil at elevene skal få, ikke sant?  Men dette er lettere sagt enn gjort. Med fare for å ødelegge de som måtte få denne oppgaven, så viser jeg her hvordan jeg har løst oppgaven generelt ved hjelp av wxMaxima:

Her vil jeg si at vi får bruk for symbolmanipuleringen på en god måte. Resultatet er bevist. Vi har startet med et tredjegradsspolynom med tre nullpunkt a, b og c. Vi ha valgt to av nullpunkta (a og b) og vi har funnet tangenten i ((a+b)/2, f((a+b)/2)) og funnet nullpunktet til denne til å være c. Men å gjøre dette er langt i fra lett! Kan vi egentlig kreve dette av en elev i videregående skole?

Problemet dukket opp på eksamen i R1 i vår. På oppave 4, alternativ II fikk elevene en oppgave som dreiede seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

I de to eksemplene elevene jobbet med, går det fram at forholdet blir det samme, nemlig det gyldne snitt. Her kunne det være interessant å vise dette generelt, noe jeg har gjort i et tidligere blogginnlegg. Men i sensorveildeningen står det at dette ikke kreves for full uttelling. Hvorfor? Fordi det er å kreve for mye av elevene…

Hvorfor er det slik? Morten Blomhøj har i sin forsking identisfisert tre måter elevene bruker digitale verktøy:

1. Den usikre og defensive elevvirksomheten
2. Den løsningsoriterte elevvirksomheten
3. Den reflekterende elevvirksomheten

Den første elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene kun har en instrumentell forståelse av ferdighetene jf likningen tidlig i dette blogginnlegget. Det klikkes og trykkes og ut kommer svara. Blomhøj skriver i artikkelen Læringsvilkår i datamskinbasert matematikkundervisning (i Matematikk for skolen, Barbro Grevholm red.):

Eleven fokuserer på å utvikle en instrumentell og prosessoirentert forsåelse, men de mangler ofte en grunnleggende forståelse av de matematiske objektene de arbeider med.

Den løsningsorienterte virksomeheten dreier seg om ytre forbindelser til det faglige innholdet i oppgavene. Her er det ikke forståelse som er viktig, men det å kunne klare å finne det rette svaret. Denne elevvirksomheten skiller seg ut fra den første ved at elevene er i stand til å formidle svarene sine på en faglig relevant måte. Her brukes IKT som forenkler.

Den reflekterte elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene vurdere ulike løsningsmetoder og er fleksible i forhold til disse. De driver med det som Schoenfeld kaller for monitoring. De overvåker sin egen løsniongsprosess og stiller seg selv spørsmål som: «Fører dette fram til svaret?» og «Hvorfor gjør vi dette? Finnes det en letter måte?»

Blomhøj skriver videre i sin artikkel:

Hvis undervisningen skal kunne støtte utvikloingen av en reflekterende elevvirksomhet, er det helt åpenbart nødvendig at elevene arbeider tilstrekkelig ofte med problemløsing, det vil si at de beskjeftiger seg med oppgaver som de er interessert i å løse, men som de ikke kan løse umiddelbart ved å bruke en metode som er velkjent for dem.

Dette er jeg hjertens enig i. Men jeg synes det er veldig vanskelig å få dette til i undervisningen. Det er to utfordringer som jeg spesielt vil nevne: den ene er problemet med å finne gode oppgaver som egner seg på de ulike trinn. Det må være oppgaver som passer til læreplan og fagstoff. Det er min erfaring at dette er noe som de fleste strever med. Den andre utfordringen er at dette vil nødvendigvis ta tid. Jeg kjenner pensumpresset er ganske stort i videregående skole og jeg skulle ønske at læreplangruppa hadde kuttet i hvertfall et hovedemne…

Blomhøj skriver at vi ikke har noen grunn til å forvente at innføring av datamskiner vil gi noen rasjonaliseringsgevinst i forhold til elevenes innlæring av det vanlige faglige innholdet. Men de vil lære seg å bruke digitale verktøy…

Hva er så konklusjonen på et litt lengre enn vanlig blogginnlegg? Å innføre digitale verktøy innebærer en didaktisk utfordring for læreren. Ved tradisjonelle oppgaver er det viktig å la elevene jobbe uten digitale vertøy for så å innføre vertøyene på et senere tidspunkt. Vi ønsker ikke at elevene kun skal ha en instrumentell forståelse, men vil ha refleksjoner og forståelse. Vi må kanskje tenke gjennom en gang til hva det vil si å ha en matematisk kompetanse…?!?

Løsningsforslag til eksamen i R1

Har laget et lite løsningsforslag til eksamen i R1 22. mai 2009. Du kan gå til slideshare og laste ned pdf-versjonen av fila....

Løsningsforslag Eksamen R1 våren 2009

View more LaTeX documents from Tor espen Kristensen.

Alternativ II på R1 eksamen

Elevene har hatt eksamen i R1 i dag. På oppgave 4 er det to alternativer. Jeg tipper at de fleste elevene har valgt alternativ I, som går ut på å finne et polynom, derivere det, finne topp- og bunpunkter, ventepunkter etc.

Alternativ II derimot, dreier seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

Dette skal de gjøre for to slike funksjoner og kommentere resultatet. Hva er resultatet? Svaret blir det samme i begge tilfellene, nemlig det gyldne snitt.

Som en artig øvelse har jeg brukt TI-Interactive! til å løse problemet generelt. Jeg staret da med å definerer en generell tredjegradsfunksjon:

Dobbeltderiverer f(x):

Finner vendepunktene:

Finner likningen for linja gjennom vendepunktene:

Finner de to andre skjæringspunktene mellom linja og f(x):

Dette går ikke, så jeg må finne på noe lurt. Deler vekk (x-L[1])(x-L[2)). Det vil si at jeg da får et andregradspolynom med de to andre x-koordinatoene til skjæringspunkta til h og f som nullpunkt:

Finner nullpunkene:

Regner så ut avstandene

Regner til slutt ut forholdet:

Hva ser vi?! Vi har funnet det gyldne snitt! Du kan finne oppgaven løst i wxMaxima her.

Denne måten å generalisere oppgaven på er noe vi selvsagt ikke kan forvente at elevene skal klare på eksamen. Men med litt veiledning, så tror jeg noen av de flinkeste elevene kan klare det dersom de får tid og ro til å jobbe med problemet.

Hva er vi så ute etter på med denne oppgaven? Når har eleven gitt et fullgodt svar på spørsmålet om å kommentere resultatet (at vi får det samme forholdet i begge to tilfellene)?

Det første som slår meg er at elevene bør vise nysgjerrighet. Det å kunne stille spørsmål i matematikk er en del av den matematiske kompetansen. Men jeg forventer også at eleven viser en viss tilbakeholdenhet med konklusjonen. Ingen ting er bevist før det er virkelig bevist!

Siden denne oppgaven med fordel kan løses med et digitalt verktøy (som det står i oppgaveteksten) så jo eleven eksperimentert litt med flere ulike fjerdegradsfunksjoner. Dette kan gjøres i GeoGebra, som vist under. Her kan du endre på koeffisientene a, b, c, d og e og se hva som skjer med forholdet ST/TQ.














Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


En anne kommentar: det står i oppgaven at eleven skal finne de ulike objektene (vendeunkt, tangenter, skjæringspunkt). En elev som styrer bra med GeoGebra løser denne oppgaven på noen få minutter, dersom vi godtar at alt gjøres på pc. Nedenfor ser dere hvordan jeg løste oppgave a) - d) (oppgave e er lik, bare med en ny funksjon -- lett å endre!)

wxMaxima – gratis CAS

Jeg har ved en del anledninger nevnt Maxima som et godt computeralgebra program (CAS) for videregående skole. Den norske versjonen kan lastes ned fra siden Moglesuts sider: http://www.moglestu.vgs.no/maxima/ . Der finner du også en veldig bra oppsummering av ulike læreplanmål for videregående skole og hvilke program (av GeoGebra og Maxima) som dekker kompetansemålet. Det som er så bra med denne siden, er at det er laget interaktive eksempler!

Selve grensesnittet til wxMaxima er intuitivt og tilpasset norsk skole. Mye avanserte funksjoner er rensket vekk (elevene trenger ikke inverse Laplace transformasjoner…) slik at det er lett å finne fram til akkurat det som våre elever trenger.

Dersom du er litt mer avansert bruker, så kan du også bruke programmet fra emacs om du skulle like dette. Da må du legge inn følgende kode i .emacs-fila:

;; Maxima
;;---------------------------------------
(setq load-path (cons "c:/Program Files/Maxima-5.4.0/share/maxima/5.14.0/emacs/" load-path))
(autoload 'maxima-mode "maxima" "Maxima mode" t)
(autoload 'maxima "maxima" "Maxima interaction" t)
(autoload 'emaxima-mode "emaxima" "EMaxima" t)
(setq auto-mode-alist (cons '("\\.mac" . maxima-mode) auto-mode-alist))
(add-hook 'emaxima-mode-hook 'emaxima-mark-file-as-emaxima)

;;---- Endre om nødvendig path til der du har innstallert maxima (versjon, Programfiler/Program Files.

Du kan da kjøre programmet i en buffer og skrive kommandoer i en annen. Fordelen med dette er at du da har en .mac fil som du lagrer. Det blir da lett å finne feil når du programmerer. For at dette skal fungere, må du passe på at C:\Program Files\Maxima-5.14.0\bin ligger som sti i en brukervariabel. Jeg har laget en brukervariabel som heter path. Der ligger alt jeg trenger som kjørbare kommandoer fra cmd. Du lager slike brukervariable ved å høyreklikke på Min datamaskin og velge egenskaper, avansert og Miljøvariable.

Her er to enkle koder jeg har laget. Den første finner alle tvillingprimtallene mellom 2 og 100 og den andre finner alle perfekte tall fra 2 til 1000:

for a:2 thru 100 do if primep(a) and primep(a+2) then display(a+2)
for a:2 thru 1000 do if divsum(a)=2*a then display(a)

Svaret på den siste koden er 6, 28 og 496. Hvor mange perfekte tall er der under 10000?

Livet lettere med pc – eller?

«PC-en er kommet for å bli – også i skolen.» Sitatet er tatt fra overskriften til en over fem å gammel artikkel på www.utdanning.no. Det er ikke mange som tør utfordre denne påstanden, selv om vi kan være uenig i hvor mye ikt skal prioriteres i norsk skole. Dette er selvsagt diskutabelt, men uansett standpunkt: læreplanen og de andre forskriftene pålegger oss som lærere å vektlegge digitale ferdigheter i undervisningen.

Blir det så mer effektivt med dette verktøyet? Dette spørsmålet har flere tolkninger. Blir jeg (som lærer) mer effektiv med digigtale verktøy? Eller blir læringen (til elevene og meg) mer effektiv? Jeg vil i dette innlegget prøve å vise hvordan digitale verktøy gjør meg mer effektiv. Om elevenes læring blir mer effektiv er et mye vanskeligere spørsmål å svare på siden det forutsetter læring- og kunnskapssyn og fagsyn.

Jeg vil ta for meg en del verkøy og tjenester jeg bruker og som jeg ikke ville vært foruten. Listen er ikke i prioritert rekkefølge.

Nettleser: Firefox

Jeg har igrunnen aldri brukt internett explorer noe særlig. Unntaket er en periode før Firefox ble lansert. Før det var det Netscape, og før det igjen Mosaic. Det beste argumentet for Firefox er alle tilleggene som kan installeres. Her er mine favoritter:

• adblock Plus – for å få vekk all den iriterende reklamen
• Delicious Bookmarks – så jeg lett kan lage bokmerker på Delicious. Mer om dette nedenfor.
• TwitterFox – så jeg kan poste og lese meldinger på twitter
• DownloadHelper – dersom det er en film jeg vil laste ned. Pass på å installere tilleggsprogram som filtrerer vekk uønsket innhold (les: porno).

Bokmerker: Delicous

Jeg pleide tidligere sende gode lenker på epost til meg selv, slik at jeg hadde dem både hjemme og på jobb. Med Delicious er dette unødvendig. Det hele fungerer slik: Når jeg kommer over en god side, så setter jeg en merkelapp på siden (det er her tillegget til Firefox kommer inn i bildet). Da vil siden bli lagt til mine favoritter på alle pc-er som jeg bruker. En annen ting som er fint med Delicious er at jeg kan se hvilke bokmerker andre har. Min finner du på http://delicious.com/tork73. Jeg kan også se hvem andre som har laget et bokmerke på akkurat den siden som jeg synes var interessant. På bildet under kan du se at det er 3 andre som har en side om Fraunhoefer diffraksjon som bokmerke. Jeg kan da gå og se hvilke andre bokmerker disse har om for eksempel bølger eller lys.

Matematikk: GeoGebra og Maxima

GeoGebra er et kjempebra program! Med dette programmet kan du plotte grafer, finne nullpunkt, derivere funksjoner, utforske og konstruere geometriske figurer og mye mer. Jeg har laget en del filmer som viser GeoGebra i bruk på vimeo.

Maxima er et enkelt og brukbart CAS verktøy. Det vil si at det symbolmanipulerer. Bjørn Ove Seland Thue har laget en norsk versjon tilpasset norsk videregående skole. Denne finner du på nettsiden http://www.moglestu.vgs.no/maxima/

Nettlagring: dropbox

Dropbox er genialt! Dette er en tjeneste som gir deg 2Gb fri lagringsplass på serveren til getdropbox. Når du installerer dropbox, så blir det laget en mappe under Mine Dokumenter (ev. Documents). Alt du putter i denne og alle endringer du gjør i denne vil bli synkronisert opp mot dropbox sin server. Når du så slår på pc-en hjemme, så vil My Dropbox-mappen også der bli synkronisert. En anne kul ting er at du får en public-mappe som du kan legge ting som du vil at andre skal kunne lese. Her er en fil jeg vil at du skal kunne lese!

Google

Google er så mye mer enn en søkemotor. Jeg kan nevne:

• En rss-leser (Google reader). Her samler jeg alle rss-strømmene
• Dokumenter. Jeg har en del dokumenter som jeg deler med andre. Da er dette et must!
• Epost. Jeg bruker Gmail. Denne har jeg aktivert IMAP på, så jeg kan bruke Thunderbird. Jeg har også satt opp Gmail til å hente epost fra andre kontoer som jeg har brukt.
• Google kalender. Jeg har aldri brukt Filofax, men dette er ikke langt i fra. Denne kalenderen synkroniserer jeg med min mobiltelefon ved hjelp av GooSync.
• Google maps. Her finner jeg kart, veibeskrivelser og mye mer.

Twitter

Joda, jeg bruker twitter jeg også. På twitter er jeg tork73. Hva er twitter? På twitter finner du andre som er interessert i det samme som deg. Du kan så poste meldinger til disse med maks 140 tegn (som i sms). Du legger ikke til venner i twitter, slik som i Facebook, men du følger de du mener er interessante å følge, uavhengig av sosiale relasjoner ellers. Dersom det er noe jeg lurer på, så sender jeg en melding på twitter. Da tar det ikke lange stunden før det dette inn noen svar. At det er maks 140 tegn gjør at twitter blir overkommelig. Som du kanskje har oppdaget, så kan blogger bli fryktelig lange. Men slik er det altså ikke på twitter!

Screencasts: Vimeo

Jeg prøver å lære elevene mine ulike programmer som kan være nødvendige. Men jeg vet at de fort glemmer hvordan ting gjøres, så derfor lager jeg en del screenkasts (finner ikke et godt norsk ord) som jeg laster opp på viemo.com. Har tidligere brukt youtube, men alt blir så flatt og dødt der – vimeo har mye bedre kvalitet!

LMS: It’s Learning

Vi bruker It’s Learning (ITSL) i Hordaland Fylkeskommune. Det beste med et LMS (Learning management system) er for meg oppgaveinnleveringer. Tidligere levert elevene inn elevøvinger på papir, og jeg fryktet alltid at jeg ville rote noen vekk. Nå har jeg hele oversikten på ITSL!

LaTeX

Her kommer min litt sære side fram. Jeg kan ikke fordra Word. Det blir ikke pent og det er tungvindt å skrive matematikk. Riktig nok kan program som MathType forenkle en god del, men LaTeX forlater jeg aldri! Med LaTeX blir all tekst, formler, tabeller etc skrevet inn som koder. Men programmet emacs blir dette rasende enkelt når du først har lært deg programmet. Men det er en meget bratt læringskurve.

Koden over blir til følgende i en pdf-fil:

Dette var noen av de programmene/tjenestene jeg bruker. Jeg kunne selvsagt lagt til flere. Fint om du vil skrive litt om andre tjenester/programmer som jeg burde kjenne til/bruke.