Arkimeds startet egentlig med et Hexagon (regulær seks-kant) og delte denne igjen i en 12-kant, så en 24-kant osv helt til han fikk en 96-kant. Ut fra dette fant han at
3 10/71 < π < 3 1/7.
Arkimedes var ikke den eneste som kom på en slik teknikk for å finne en tilnærmet verdi for π. Liu Hui fant i ca 264 eKr følgende tilnærming ved å bruke polygoner med 192 kanter: 3,141024 < π < 3,142704 og ved å bruke et polygon med 3072 sider fant han at π ≈3,14159
mandag 9. mars 2009
Arkimedes' tilnærming av π
Nedenfor ser du en demonstrasjon av de regulære mangekantene som Arkimedes brukte til å finne en tilnærmingsverdi for π. Sirkelen har radius lik 1 og det er innskrevet og omskrevet to regulære n-kanter. Du kan skyve på n for å øke antall kanter og på den måten få en bedre tilnærming av π:
Svenskene kan det!
Her er et flott bevis for pytagoras setning. Det er faktisk Euklids originale bevis fra Euklids Elementer I Proposisjon 47:
Med det samme jeg er i gang med å dele artige filmer fra youtube: her er en du bare må se! Hva er det som går galt her?
Denner er heller ikke så verst:
Med det samme jeg er i gang med å dele artige filmer fra youtube: her er en du bare må se! Hva er det som går galt her?
Denner er heller ikke så verst:
søndag 8. mars 2009
Er det bare meg?
Sitter her og jobber med oppdatering av årsplaner i de ulike fagene jeg underviser i. I den forbindelse kan jeg ikke la være å myse litt på hvor langt andre er kommet og det slår meg at jeg stort sett alltid ligger litt bak andre lærere (med noen få unntak). Vi har et ganske stort pensumpress i videregående skole og det er liksom veldig viktig å komme igjennom alt stoffet. Men er det en ting jeg har lært så langt i min yrkeskariere, så er det dette at der er forskjell på å ha «hatt det» og å «ha lært det». Derfor prøver jeg å ikke gå for fort fram i pensum, men ønsker å la elevene få jobbe seg godt inn i stoffet.Et annet problem er å prøve ut digitale verktøy i faga. I Fysikk 1 jobber elevene for tiden med å lage en wiki om kjernefysikk. - Ja, du leste riktig. Vi holder enda på med kjernefysikk! De fleste som underviser etter Ergo fysikk er nå godt uti kapittel 8 om Astrofysikk og så jobber vi altså med kjernefysikk fremdeles...
Jeg tror jeg skal klare å «komme igjennom», men det vil bli på hengede håret i år...
fredag 6. mars 2009
Hvilke fag underviser du i?
Av ren nysgjerrighet skulle det være artig å finne ut hvilke fag leserne av denne bloggen underviser i (antar de fleste er lærere). I margen til høyre har jeg laget en undersøkelse. Klikk på de fagene du underviser i da!
tirsdag 3. mars 2009
IKT og resonnering
Jeg har i et tidligere innlegg vært inne på dette med kreativ resonnering i matematikkfaget. Jeg vil i dette innlegget utdype hva jeg legger i dette og hva det betyr for bruk av digitale verktøy i matematikkfaget.
Selve begrepet «Kreativ resonnering» blir brukt av Johan Lithner i artikkelen A framework for analysing creative and imitative mathematical reasoning. Han definerer resonering som
Men hva legger vi så i det å kunne resonnere? Det er her jeg har funnet god hjelp i Lithners artikkel. I artikkelen skiller han mellom kreativ og imitativ resonnering. Disse inndeles igjen i globale og lokale kreative resonement, algoritmisk og memorisert reseonnering slik figuren under viser.
La osse se på et eksempel. Dersom vi har røde og blå klosser, hvor mange tårn kan du da bygge med tre klosser? Denne oppgaven kan løses på flere måter. En kreativ måte er å «skape løsningenen» som vist under.
En annen måte å løse oppgaven på er å bruke formelen for antal ordnede utvalg med tilbakelegging: Dersom vi gjør n forsøk der det er k muligheter i hvert forsøk, så fins det i alt kn mulige kombinasjoner. Vi kan bruke dette i eksempelet over å få at det er 23=8 muligheter.
Begge disse to måtene å løse oppgaven på handler om kompinatorikk, men ulik type kompetanser vektlegges. I et tidligere innlegg har jeg antydet at det er den siste som blir vektalgt i videregående skole. Når jeg har holdt kurs for lærere, så har jeg ofte hørt kommentarer av typen «Men elevene må jo lære...» Det vil si: elevene må jo lære denne eller denne formelen. På den måten blir kreativ resonnering lite verdsatt i skolen.
Lithner kommer med følgende kriterier for at et resonnement skal kunne kalles kreativt:
Hvilken type resonnering er det så elevene gjør når de jobber med digitale verktøy? Jeg kan ikke her uttale meg generelt, men vil kun komme med noen betraktninger som jeg har gjort i forbindelse med min egen undervisning. Vi bruker Excel og GeoGebra i undervisningen. En vanlig oppgave eleven kan få er å finne vendepunktet til en graf. I GeoGebra er dette lett å gjøre. Dersom det er et polynom f(x), er det nå nok å gi kommandoen Vendepunkt[f] og vips så har vi vendepunktet. Dette er hva Lithner vil kalle familiaritetsresonnering. Vi bare vet at slikt finner vi ved å gjøre dette eller dette. I dette tilfellet en viss kommando i GeoGebra. Det samme kan vi si når det gjelder å finne nullpunkt, topp-/bunnpunkt etc. Det sier seg selv at det ikke er mye læring i denne måten å bruke verktøyet på. Min påstand er at dersom digitale verktøy skal få en merverdi for elevene, så må vi skifte fokus fra imitativ resonnering og over på kreativ resonnering.
Dette synes jeg er en stor utfordring. Det krever andre typer oppgaver og en annen type tilnærming enn hva som er vanlig. Det fordrer en problemløsningsfokus som jeg påstår vi ikke har i norsk skole. Heller ikke i amerikans eller tysk skole har de dette. James W. Stigler og James Hiebert skriver om dette i boka The Teaching Gap. Denne er bassert på TIMSS video studies som analyserer undervisningen i tre land (USA, Tyskland og Japan). Av disse tre landa var det kun i Japansk skole at det ble arbeidet med problemløsning. En av lærerne fra USA som var med på analysearbeidet ble inspirert av den Japanske måten å undervise på og ville derfor prøve det hjemme med sine egne elever. Resulatet? Det fungerte over hode ikke! Hvorfor det? Stiegler og Hiebert argumenterer med at det hele koker ned til ulik skolekultur. Det var rett og slett ikke kultur for en slik måte å jobbe på i USA.
Hva så med norsk skole? Har vi kultur for en problemorientert undervisning? Det er min erfaring at vi absolutt ikke er klar for dette. Det kan vi tydelig se på oppgavene som blir gitt ved eksamen og på vektleggingen i lærebøkene. Mitt spørsmål er da: Hva med IKT og matematikklæring? Er vi modne for en slik innføring? Vil vi klare å få elevene til å jobbe med kreativ resonnering? Eller blir pc-en kun en fordummende boks som gir alle svarene som det blir spurt om uten at eleven vet hva det hele dreier seg om?
Selve begrepet «Kreativ resonnering» blir brukt av Johan Lithner i artikkelen A framework for analysing creative and imitative mathematical reasoning. Han definerer resonering som
Mathematical reasoning is defined as any type of reasoning that concerns mathematical task solving.Resonnering er noe vi gjør hver gang vi argumenterer for noe. Her er to eksempler
- Hvis jeg hopper uti vannet, så blir jeg våt.
- Hvis Ole er to år større enn meg, så er han 8 år
- Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets?
- Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen?
- Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de bo 3,2 km fra hverandre.
- Dersom summen av to tall er et oddetall, så må ett av tallene være et partall og det andre et oddetall.
Men hva legger vi så i det å kunne resonnere? Det er her jeg har funnet god hjelp i Lithners artikkel. I artikkelen skiller han mellom kreativ og imitativ resonnering. Disse inndeles igjen i globale og lokale kreative resonement, algoritmisk og memorisert reseonnering slik figuren under viser.
La osse se på et eksempel. Dersom vi har røde og blå klosser, hvor mange tårn kan du da bygge med tre klosser? Denne oppgaven kan løses på flere måter. En kreativ måte er å «skape løsningenen» som vist under.
Begge disse to måtene å løse oppgaven på handler om kompinatorikk, men ulik type kompetanser vektlegges. I et tidligere innlegg har jeg antydet at det er den siste som blir vektalgt i videregående skole. Når jeg har holdt kurs for lærere, så har jeg ofte hørt kommentarer av typen «Men elevene må jo lære...» Det vil si: elevene må jo lære denne eller denne formelen. På den måten blir kreativ resonnering lite verdsatt i skolen.
Lithner kommer med følgende kriterier for at et resonnement skal kunne kalles kreativt:
- Originalitet: Resonneringen er ny (for den som resonnerer) eller gjenoppdaget
- Fleksibilitet: Den som resonnerer tillater ulike tilnærminger og tilpasninger til situasjonen
- Plausibilitet: Den som resonnerer har argumenter som støtter de valg eller strategier som brukes og som gir en pekepinn på hvorfor konklusjonene er sanne.
- Matematisk fundert: Den som resonnerer har argumenter som er fundamentert på matematiske egenskaper til komponentene som er involvert i resonneringen (ikke bare på overflaten)
- 34·35=3·3·3·3·3·3·3·3·3= 39
- Det er 34+5=39
Hvilken type resonnering er det så elevene gjør når de jobber med digitale verktøy? Jeg kan ikke her uttale meg generelt, men vil kun komme med noen betraktninger som jeg har gjort i forbindelse med min egen undervisning. Vi bruker Excel og GeoGebra i undervisningen. En vanlig oppgave eleven kan få er å finne vendepunktet til en graf. I GeoGebra er dette lett å gjøre. Dersom det er et polynom f(x), er det nå nok å gi kommandoen Vendepunkt[f] og vips så har vi vendepunktet. Dette er hva Lithner vil kalle familiaritetsresonnering. Vi bare vet at slikt finner vi ved å gjøre dette eller dette. I dette tilfellet en viss kommando i GeoGebra. Det samme kan vi si når det gjelder å finne nullpunkt, topp-/bunnpunkt etc. Det sier seg selv at det ikke er mye læring i denne måten å bruke verktøyet på. Min påstand er at dersom digitale verktøy skal få en merverdi for elevene, så må vi skifte fokus fra imitativ resonnering og over på kreativ resonnering.
Dette synes jeg er en stor utfordring. Det krever andre typer oppgaver og en annen type tilnærming enn hva som er vanlig. Det fordrer en problemløsningsfokus som jeg påstår vi ikke har i norsk skole. Heller ikke i amerikans eller tysk skole har de dette. James W. Stigler og James Hiebert skriver om dette i boka The Teaching Gap. Denne er bassert på TIMSS video studies som analyserer undervisningen i tre land (USA, Tyskland og Japan). Av disse tre landa var det kun i Japansk skole at det ble arbeidet med problemløsning. En av lærerne fra USA som var med på analysearbeidet ble inspirert av den Japanske måten å undervise på og ville derfor prøve det hjemme med sine egne elever. Resulatet? Det fungerte over hode ikke! Hvorfor det? Stiegler og Hiebert argumenterer med at det hele koker ned til ulik skolekultur. Det var rett og slett ikke kultur for en slik måte å jobbe på i USA.
Hva så med norsk skole? Har vi kultur for en problemorientert undervisning? Det er min erfaring at vi absolutt ikke er klar for dette. Det kan vi tydelig se på oppgavene som blir gitt ved eksamen og på vektleggingen i lærebøkene. Mitt spørsmål er da: Hva med IKT og matematikklæring? Er vi modne for en slik innføring? Vil vi klare å få elevene til å jobbe med kreativ resonnering? Eller blir pc-en kun en fordummende boks som gir alle svarene som det blir spurt om uten at eleven vet hva det hele dreier seg om?
Hva er spesielt med denne dagen?
Nerdede som jeg er, så lar jeg meg rive med. I dag er det kvadratrotdagen! Ja, du leste riktig! Det er nemlig 3.3. 09 i dag! Dette ser jo nettopp ut som 3*3=9 - ikke sant? Det er 10 slike datoer i løpet av et århundre. Disse er:
10.10.100 (ok -- denne er litt tvilsom)
1.1.01
2.2.04
3.3.09
4.4.16
5.5.25
6.6.36
7.7.49
8.8.64
9.9.81
Det er med andre ord over syv år til neste gang (høres jeg ut som Ødegård nå?)
Det var forøvrig forkning.no som gjorde meg oppmerksom på denne rariteten...
10.10.100 (ok -- denne er litt tvilsom)
1.1.01
2.2.04
3.3.09
4.4.16
5.5.25
6.6.36
7.7.49
8.8.64
9.9.81
Det er med andre ord over syv år til neste gang (høres jeg ut som Ødegård nå?)
Det var forøvrig forkning.no som gjorde meg oppmerksom på denne rariteten...
Det er vår!
Litt rart å skrive et innlegg om våren midt i vinterferien. Men slik føles det i hvert fall! Da jeg var en liten tur tidligere i dag fikk jeg rene vårstemningen. Her er et bilde fra turen som viser at jeg ikke er alene...
Abonner på:
Innlegg (Atom)