Bokomtale: Kan vi dele tall slik som elpler?

Per Ødegaard har skrevet en interessant bok om norsk skolematematikk. Da jeg tok praktisk pedagogikk høsten 1999 var det Per Ødegaard som var min veileder i praksis. Og det fikk satt spor! Han skriver like godt som han veiledet studentene. Han har mange gode historier og illustrerende eksempler som får fram poengene klart og tydelig. I boka tar Ødegaard et oppgjør med oppgaveparadigmet som råder i norsk skole.

Ødegaard har et varmt hjerte for sliterne i faget. Hvorfor skal alle elevene lære det samme? Ville det ikke være bedre om sliterne fikk slippe avanserte emner innenfor algebra og likninger og heller fokusere på mer grunnleggende emner som er mer knyttet opp mot elevens hverdag? Og hva med de flinkeste? Hvorfor må det være slik at når en flink elev har regnet ferdig oppgavene, så får hun mer oppgaver av samme sort? 

Per Ødegaard retter også et kritisk blikk mot alle læreplanene vi har hatt fra begynnelsen av 70-tallet og fram til i dag. Av alle planene som har vært i denne perioden, så er det L97 som Ødegaard liker best. Han retter også et kritisk blikk på eksamensoppgavene de siste 30 årene. Er det riktig at elever som sliter med faget skal bli utsatt for samme oppgaver som de aller flinkeste? Blir det ikke bare nok et nederlag når de ikke klarer å løse de fleste av de rundt 60 oppgavene de må igjennom?

Boka er vel verdt pengene og anbefales på det sterkeste, selv om jeg synes han lett kan misforstås i en av konklusjonene, nemlig at undervisningen for sliterne må bli mer meningsfull (praktisk).  Det er nemlig ikke sikkert at en rendyrking av den praktiske siden av faget vil være tjenelig for de aktuelle elevene. Tony Gardiner  (2004) skriver blant annet:

Mathematics teaching may be less effective than most of us would like; but we should hesitate before embracing the idea that school mathematics would automatically be more effective on a large scale if the curriculum focused first on “useful mathematics for all” (numeracy), with more formal, more abstract mathematics to follow for the few.

Poenget er at det ikke bare må bli med de praktiske eksemplene, men at matematikken må løftes opp på et mer abstrakt nivå, også for sliterne. Problemet for mange elever er jo nettopp (som Ødegaard viser eksempler på) at en elev kan være en reser i prosentregning i én situasjon, men ikke i stand til å regne i en annen. Problemet er at elevene ikke klarer å overføre kunnskapen fra en situasjon til en annen. Men dette betyr ikke at alle må lære det samme innfor de ulike emnene. Det kommer an på hvordan elevene (og læreren) jobber med faget. Det må være meningsfullt, ikke bare terping av regler. Og det poenget får Ødegaad klart fram!

Konklusjon: Kjøp den, les den og reflekter!

Løsningsforslag til eksamen i R1

Har laget et lite løsningsforslag til eksamen i R1 22. mai 2009. Du kan gå til slideshare og laste ned pdf-versjonen av fila....

Løsningsforslag Eksamen R1 våren 2009

View more LaTeX documents from Tor espen Kristensen.

Alternativ II på R1 eksamen

Elevene har hatt eksamen i R1 i dag. På oppgave 4 er det to alternativer. Jeg tipper at de fleste elevene har valgt alternativ I, som går ut på å finne et polynom, derivere det, finne topp- og bunpunkter, ventepunkter etc.

Alternativ II derimot, dreier seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

Dette skal de gjøre for to slike funksjoner og kommentere resultatet. Hva er resultatet? Svaret blir det samme i begge tilfellene, nemlig det gyldne snitt.

Som en artig øvelse har jeg brukt TI-Interactive! til å løse problemet generelt. Jeg staret da med å definerer en generell tredjegradsfunksjon:

Dobbeltderiverer f(x):

Finner vendepunktene:

Finner likningen for linja gjennom vendepunktene:

Finner de to andre skjæringspunktene mellom linja og f(x):

Dette går ikke, så jeg må finne på noe lurt. Deler vekk (x-L[1])(x-L[2)). Det vil si at jeg da får et andregradspolynom med de to andre x-koordinatoene til skjæringspunkta til h og f som nullpunkt:

Finner nullpunkene:

Regner så ut avstandene

Regner til slutt ut forholdet:

Hva ser vi?! Vi har funnet det gyldne snitt! Du kan finne oppgaven løst i wxMaxima her.

Denne måten å generalisere oppgaven på er noe vi selvsagt ikke kan forvente at elevene skal klare på eksamen. Men med litt veiledning, så tror jeg noen av de flinkeste elevene kan klare det dersom de får tid og ro til å jobbe med problemet.

Hva er vi så ute etter på med denne oppgaven? Når har eleven gitt et fullgodt svar på spørsmålet om å kommentere resultatet (at vi får det samme forholdet i begge to tilfellene)?

Det første som slår meg er at elevene bør vise nysgjerrighet. Det å kunne stille spørsmål i matematikk er en del av den matematiske kompetansen. Men jeg forventer også at eleven viser en viss tilbakeholdenhet med konklusjonen. Ingen ting er bevist før det er virkelig bevist!

Siden denne oppgaven med fordel kan løses med et digitalt verktøy (som det står i oppgaveteksten) så jo eleven eksperimentert litt med flere ulike fjerdegradsfunksjoner. Dette kan gjøres i GeoGebra, som vist under. Her kan du endre på koeffisientene a, b, c, d og e og se hva som skjer med forholdet ST/TQ.














Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


En anne kommentar: det står i oppgaven at eleven skal finne de ulike objektene (vendeunkt, tangenter, skjæringspunkt). En elev som styrer bra med GeoGebra løser denne oppgaven på noen få minutter, dersom vi godtar at alt gjøres på pc. Nedenfor ser dere hvordan jeg løste oppgave a) - d) (oppgave e er lik, bare med en ny funksjon -- lett å endre!)

Grupper på Flickr

Det er mange interessante grupper på Flickr. En av gruppene jeg har meldt meg inn i er Photoshop Fixes. Her får vi en ukentlig utfordring med et bilde som har et stort  forbedringspotensiale. Dave Cross har startet denne gruppen og det er han som administrerer den. Dave Cross finner du også hver uke på Photoshopusertstv – et meget bra show blandet med humor og Photoshop-tekninker.

Denne ukes utfordring er et falmet bilde av et barn. Nedenfor ser du «original» og mitt bidrag. Tøft?

 

wxMaxima – gratis CAS

Jeg har ved en del anledninger nevnt Maxima som et godt computeralgebra program (CAS) for videregående skole. Den norske versjonen kan lastes ned fra siden Moglesuts sider: http://www.moglestu.vgs.no/maxima/ . Der finner du også en veldig bra oppsummering av ulike læreplanmål for videregående skole og hvilke program (av GeoGebra og Maxima) som dekker kompetansemålet. Det som er så bra med denne siden, er at det er laget interaktive eksempler!

Selve grensesnittet til wxMaxima er intuitivt og tilpasset norsk skole. Mye avanserte funksjoner er rensket vekk (elevene trenger ikke inverse Laplace transformasjoner…) slik at det er lett å finne fram til akkurat det som våre elever trenger.

Dersom du er litt mer avansert bruker, så kan du også bruke programmet fra emacs om du skulle like dette. Da må du legge inn følgende kode i .emacs-fila:

;; Maxima
;;---------------------------------------
(setq load-path (cons "c:/Program Files/Maxima-5.4.0/share/maxima/5.14.0/emacs/" load-path))
(autoload 'maxima-mode "maxima" "Maxima mode" t)
(autoload 'maxima "maxima" "Maxima interaction" t)
(autoload 'emaxima-mode "emaxima" "EMaxima" t)
(setq auto-mode-alist (cons '("\\.mac" . maxima-mode) auto-mode-alist))
(add-hook 'emaxima-mode-hook 'emaxima-mark-file-as-emaxima)

;;---- Endre om nødvendig path til der du har innstallert maxima (versjon, Programfiler/Program Files.

Du kan da kjøre programmet i en buffer og skrive kommandoer i en annen. Fordelen med dette er at du da har en .mac fil som du lagrer. Det blir da lett å finne feil når du programmerer. For at dette skal fungere, må du passe på at C:\Program Files\Maxima-5.14.0\bin ligger som sti i en brukervariabel. Jeg har laget en brukervariabel som heter path. Der ligger alt jeg trenger som kjørbare kommandoer fra cmd. Du lager slike brukervariable ved å høyreklikke på Min datamaskin og velge egenskaper, avansert og Miljøvariable.

Her er to enkle koder jeg har laget. Den første finner alle tvillingprimtallene mellom 2 og 100 og den andre finner alle perfekte tall fra 2 til 1000:

for a:2 thru 100 do if primep(a) and primep(a+2) then display(a+2)
for a:2 thru 1000 do if divsum(a)=2*a then display(a)

Svaret på den siste koden er 6, 28 og 496. Hvor mange perfekte tall er der under 10000?

Eksamen i matematikk…

I dag har elevene hatt eksamen i R2 og S2. Tilbakemeldingene fra elevene i R2 var at del 1 var lett og del 2 vanskelig. Dagen bydde også på en utfordring når det gjelder programvare. I S2 har vi brukt GeoGebra Pre-Release som kan regne ut regresjoner. Dette kan selvsagt også gjøres i Excel og OpenOffice.org Calc. Men disse har ikke logistisk regresjon. Så derfor må vi bruke GeoGebra Pre-Release…

Problemet med Pre-Releas-utgaven av GeoGebra er at dette programmet ikke installeres for alle brukere, men kun for den bruker som installerer. Så når vi gikk rundt og innstallerte nødvendige programmer på pc-ene som elevene skulle bruke, så fikk de altså ikke Pre-Release. Løsningen? Elevene måtte selv logge seg inn og installere. Problemet? De har ikke nettilgang under eksamen. Løsningen: Før elevene begynte på del 2, så logget de seg inn på pc-en og gav den til meg. Da var nettet enda åpent, så jeg kunne installere Pre-Release, skru av maskinene og så stenge nettet.

Litt stress, men det virket. Siden dette skjedde i forbindelse med innelvering av del 1, så ble det ikke forstyrrende for elevene. Det hele tok fem minutt, siden det i dag kun gjaldt fem elever.

Andre programmer som elevene har brukt:

• Microsoft Excel
• TI-interactive!
• Maxima

Av disse kommer vi til å kutte ut TI-interactve! GeoGebra og Maxima erstatter dette helt og fullt (ja, også TI-Nspire).

WolframAlpha – en ny «søkemotor»

Har akkurat testet ut WolframAlpha, som er en spennende ny «søkemoter» eller hva vi nå skal kalle den. Her kan du skrive inn ulike søkestrenger (på engelsk) og få svar. Under har jeg vist et eksempel der tjenesten finner en grense som elevene våre fikk på årsprøven i R1. Legg merke til at vi også får med oss stegene i beregningen! Ok, elevene vet ikke så mye om L’Hospitals regel, men dette viser dem likevel nesten i mål. Er dette bra? Det kommer ann på hvordan det brukes. Det er og bli elevene selv som må finne ut av disse mellomregningene, men dette kan likevel være et alternativ når de står fast.

Jeg tar med et par eksempler til. Det er ikke bare matematikk som er tingen her. Søker du på Weather Stord, så får du opp følgende:

Skriver du inn «ethylacetate» får du følgende:

Ett eksempel til. Vi skal til Alanya i sommer. Da kan jeg skrive «Stord to Alanya» får jeg blant annet:

 

Dette var kun noen få eksempler og jeg synes rett og slett dette er litt kult! Du finner flere eksempler på http://www79.wolframalpha.com/.