To filmer om fonter

Det er en kjent sak at ulike fonter tjerner ulike formål. Her er to filmer som viser dette på en god måte. Jeg ble gjort oppmerksom på disse via Presentaion Zen.

Typefaces give us signals from erik spiekermann on Vimeo.

Denne filmer er bassert på originalen laget for ca 25 år siden:

Erik Spierkermann er en kjent fontdesigner. Berliner grotesque er et eksempel på en font han har designet.

Stward Brand proclaims 4 environmental 'heresies'

Denne TED-talken bare må deles. Du vil få en artig overraskelse noen minutter ut i foredraget (ca 6 minutt ut i foredraget).

Tyrkia 2009

Vi har nettopp kommet hjem fra en herlig ferie i Tyrkia. Det er nå sjette gangen vi har vært i dette flotte landet. Stort sett blir det late dager ved bassenget eller på stranden og restaurantbesøk på kvelden. I år reiste vi via London og sparte ca 5000 kroner på dette sammenliknet med å reise fra Haugesund, Bergen eller Stavanger. Nok om det! Det jeg vil trekke fram her er noe jeg la merke til på 10-er sedlene deres:

Bildet på seddelen er av den tyrkiske matematikerene Cahit Arf (1910 – 1997). Arf er kjent for invarianten oppkalt etter ham, Arf-invarianten. Du ser et uttrykk for denne på seddelen over. Denne invarianten forteller oss om en knute er pass-ekvivalent med den trivielle knuten (som i en strikk) eller kløverknuten: I det første tilfellet er summen på seddelen lik 0 i Z₂ og i det siste tilfellet 1. For å avgjøre om en knute er pass-ekvivalent med den trivielle eller kløverknuten, så må vi beregne visse kvadratiske former til hololgi-gruppen til en flate svarende til knuten (en såkalt seifert-flate). Arf-invarianten kan også beregenes ut fra Aleksanderpolynomet for knuten. Les mer her.

Artig å se andre sider ved Tyrkia en kun basarer, svømmebasseng, billige kopiklær og dolmuser!

Dersom du vil få litt tyrkisk stemning, så klikk på play!

Hva kan vi forvente av en elev i R1 eller R2?

I forbindelse med noen kjennetegn på måloppnåelse som jeg har laget til R1 (og S2), ble det en interessant diskusjon av hva vi kan forvente oss av en elev som velger matematikk R1. Utgangspunktet var kompetansemålet som tar for seg grenser og kontinuitet. I LK06 står det at eleven skal kunne gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare. Hva betyr dette? Hvor presist skal vi kunne forvente oss at eleven skal kunne gjøre rede for grensebegrepet? Hva kjennetegner høy grad av måloppnåelse?

For å svare på dette, vil jeg ta et lite historisk tilbakeblikk. Deretter vil jeg se litt på læringsteoretisk modeller som sier noe om abstraksjonsnivået og forståelse av matematiske begreper.

Historiske betraktninger

De første antydningene til et grensebegrep finner vi allerede i antikkens verden. Eudoksos fra Knidos er kjent for uttømmingsmetoden (engelsk: method of exhaustion). Denne videreutviklet Euklid, og essensen er at du kan f.eks. finne arealet av en sirkel ved å innskrive et regulært polygon. Dersom du øker antall kanter, så vil arealet til polygonet stadig bli mer lik arealet til sirkelen. Dersom du lar antall kanter gå mot uendelig, så vil du få likhet. Men dette ville selvsagt ikke grekerne gjøre, som ungikk uendelighetsbegrepet for enhver pris. Men prinsippet var der: Du kan få arealet til å bli bedre og bedre, dess flere kanter polygonet har.

Arkimedes brukte denne metoden til å finne volumet av en kule med en gitt radius. Her var ideen å dele opp visse figurer i små skiver med en liten tykkelse (i dag ville vi klalt tykkelsen ∆x). Ved å ballansere disse skivene på en vektstang og bruke at angulært moment er null (hopper over detaljer her, kommer tilbake til dette ved et senere innlegg), så fant han til slutt ut at volumet av en kule er fire ganger arealet til en sirkel med samme radius delt på tre. I resonnementet her må vi la ∆x gå mot null. Og det var det Arkimedes i praksis gjorde. I dag vil vi si at Arkimedes regnet ut et integral. Men slike begreper snakket de ikke om på den tid.

Hopper vi fram ca 1900 år kommer vil til Newton og Leibniz. Disse blir regnet som grunnlegerne av integral- og differensialregningen. Ideene bak Newtons og Leiniz’ teori er nok så like, men notasjonen er ganske annerledes. Det er fra Leibiz av vi har skrivemåten dy/dx. Han regnet uhemmet med infinitessimaler. Det vil si uendelig små størrelser. Dersom vi skal derivere funksjonen y=x² så ser vi på kvotienten

Setter vi nå dx=0, så får vi at den deriverte til y=x² er lik 2x, dvs at dy/dx=2x. Men kan vi egentlig gjøre dette? I kvotienten vi startet med delte vi jo på dx, og så satte vi plutselig dx=0… Dette kan vel ikke være lov?

Newton derimot snakket om sine “fluents”. Det vil si at han så på de variable som størrelser som kunne endre, akkurat som en flytende strøm av veske kan endres. Newton ville sagt at dx skulle flyte mot null (selv om han ikke akkurat brukte denne notasjonen. Newton ville ha byttet ut en variabel z med z+oż og latt o forsvinne mot null).

Den første kritikeren til denne måten å resonnere på kom utenfra. Det var biskop George Berkeley (1685 – 1753) som satte fingeren på problemet i artikkelen The analyst. Der skriver han kritisk om Newtons “fluxions” (disse o-ene som går mot null):

And what are these fluxions? The velocities of evanescent increments. And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them ghosts of departed quantities?

Det var ikke vanskelig å se at Berkeley hadde et poeng. Noe måtte gjøres og kanskje den første som tok et tak i dette var Jean-le-Rond d’Alembert (1717-1783). Han forslo at integral- og differensialregningen skulle bassere seg på grenser.  Ideen hans var å se på kvotienenten u/z=(f(x+∆x)-f(x))/∆x (i vår notasjon). Han definerte da dy/dx til å være det tall som  u/z nærmet seg når u og z nærmet seg null. Vi ser her at grensebegrepet begynner å komme tydeligere fram. Men det er fremdeles upresist etter dagens standard. Men d’Alembert var på rett spor.

Neste store matematiker som jeg vil trekker fram er Cauchy. Han formulerte en enda mer presis formulering av grensebegrepet:

When the values successively attributed to the same variable approach a fixed value indefinitely, in such a way as to end up by differing from it as little as one could wish, this last value is called the limit of all the others.

Legg merke til at Cauchy bruker ord som approach. Det vil si at det fremdeles er en slags dynamisk forståelse av grensene. Det er noe som nærmer seg noe annet. Det var først Weierstass som laget en statisk deinisjon – den så kalte epsilon-delta-definisjonen. Den lyder slik:

Vi sier at f(x) får mot L når x går mot a dersom det er slik at for enhver ε>0 finnes en δ>0 slika at  0<| x-a |< δ  medfører at  | f(x) - L |<ε.

Didaktiske betraktninger

I den lille historiske gjennomgangen over håper jeg å ha fått fram tydelig at grensebegrepet har en lang historie og at det tok lang tid før vi fikk den presise definisjonen som vi bruker i dag. Mitt poeng er at vi ikke gjør noe feil når vi ikke tar med den rigoriøse Weierstrass-definisjonen, vi er bare ikke så presise. Jeg tror at Newton hadde en viss forståelse for grensebegrepet, for å si det på den måten. Men det betyr nødvendigvis ikke at vi ikke skal kunne forvente at flinke elever skal kunne klare å jobbe med en slik definisjon. Eller?

Jeg synes det er viktig at elever i videregående skole som har ambisjoner innenfor realfaga ikke bare får øvelser i å regne, men at de også får en viss forståelse for den formelle siden med faget. Viser en elev som kan regne ut grenser ved å faktorisere visse polynomer, forkorte og så sette inn grenseverdien at han eller hun har høy måloppnåelse (karakter 5 eller 6)? Ikke sånn i utgangspunktet! Hva skal så til? Min konklusjon så langt er at en dynamisk forståelse er bra nok på dette nivå. Jeg forventer at eleven skal si at funksjonen nærmer seg en viss verdi når x nærmer seg en verdi, men ikke bli lik. Det vil si at jeg ikke krever mer enn det som d’Alembert sa. Det betyr ikke at en elev ikke skal møte epsilon-delta-definisjonen, men at dette vil være mer en hva som skal til for å få topp karakter.

En annen ting. Kan vi forvente at den jevne elev skal få utbytte av en slik rigoriøsitet? Det tviler jeg litt på. Det er en del pedagogiske teorie som prøver å beskrive elevers læring. Mange av disse går i retning av ulike taxonomier. Det vil si at elevene ikke har en kontinuerlig læringskurve, men at det går litt i rykk og napp. Den mest kjente teorien er kanskje Piagets stadieteori. En annen slik taksonomi er den så kalte SOLO-taksonomien til Biggs og Collis. SOLO står for

Structure of
Observed
Learning
Outcomes

I denne er det fem nivå:

1. Pre-strukturelt:  eleven skaffer seg usammenhengende informasjon.
2. Uni-strukturelt: enkle og opplagte sammenhenger finnes, men blir ikke brukt på en vesentlig måte
3. Multistrukturelt:En rekke sammenhenger blir brukt, men ikke på en helhetlig måte.
4. Relasjonelt:  Eleven klarer å se ulike sammenhenger i relasjon til hverandre.
5. Utvidet abstrakt: eleven ser ikke bare sammenhenger ut fra en kontekst, men klarer å generalisere disse til andre områder.

Felles for slike taksonomier er at i det øverste nivået viser elevene evne til abstraksjon og teoretisering. van Hieles har også en slik taksonimi knyttet til geometriske former. På det øverste nivå i van Hieles har vi aksiomatisering. Mitt poeng er at en statisk forståelse av grenseberepet forutsetter at eleven er på et utvidet abstrakt nivå, noe jeg tviler mange elever på vg 2 er. Men dette har jeg egentlig ikke dekning for å si. Det er kun bassert på erfaringer.

Konklusjonen min er derfor at det blir for mye å forvente av en elev på vg2 at han eller hun skal kunne aktivt bruke epsilon-delta-definisjon for å bevise ulike grenseverdier. Men noen elever er der, og disse kan godt møte slike utfordringer allerede i videregående skole. Men har vi tid til slilk tilpasset opplæring?  

Bokanbefaling: Making the invisible visible

Har akkurat lest ferdig en meget interessant bok som jeg vil anbefale på det varmeste. Boka heter The Language og Mathematics og er skrevet av Keith Devlin. I boka demonsterer Dewlin sitt syn på matematikkfaget: det er en søken etter mønster og strukturer. For å gjøre dette tar han oss med på en vandring i matematikkens landskap som strekker seg fra rundt 600 f.Kr fram til i dag. Dewlin klarer på en utmerket måte å få fram strukturen i faget og vi får lære om mange tema innenfor faget på en interessant og lærerik måte. Boka forutsetter ikke mye forkunskaper, men den som har tatt noen studiepoeng i matematikk kan lese den på senga uten problem.

Vi får lære om blant annet klassisk Euklidsk geometri, teori rundt tesseleringer, algebraens utvikling, andre typer geometrier (Sfærisk, hypergeometrisk), analysens utvikling og topologi. Han viser også hvordan matematikken er brukt i aksiomatisering av språkteori (dette kunne jeg ikke noe om fra før), logikk (som han kaller for «Patterns of the mind», og ulike nettverk. Han har en fenomenal innføring i topologi. Et av eksemplene han bruker er et kart av London Undergrpund.

Alle som har vært i London vet at dette kartet ikke forteller noe om geometrien til London. Det vil si at avstander ikker er en relevant egenskap til dette kartet, men snarerer posisjon og rekkefølge. Dette er topologiske egenskaper. Med mange slike eksempler får vi en lett innføring i matematikken som omtales og alt blir satt i sin historiske kontekst. Jeg bare digger slike bøker!    

Ubuntu 9.04 Netbook Remix

For et år siden kjøpte jeg en Asus EeePc. Selv synes jeg en slik NettPC har for liten skjerm og for lite tastatur. Men det synes ikke ungene og eldsteman på snart 11 har brukt den mye til skolearbeid.

I dag har jeg installert Ubuntu 9.04 Netbook Remix på maskinen. Dette er en linuxversjon som er designet med tanke på små skjermer med dårlig oppløsning. Nedenfor ser du et skjermdump av skrivebordet slik du møter det etter oppstart. Her finner du lett de ulike programmene og mappene som du bruker. Dersom vi ser bort fra print-serveren som vi har i huset, så er dette første gang at linux har virket 100% uten at jeg har måtte fikle med ulike drivere. Alt virket!

 

Jeg måtte dog fikle litt med print-serveren, men et lite søk på ubutus brukerforum gav løsningen umiddelbart. Vi har en D-link Print Server DPR1260 og veiledningen på oppsett av skriver fant jeg her. 

Et problem du møter når du skal sette opp en slik NettPC (som slike minipc-er kalles) er at de ikke har CD-rom eller DVD-spiller. Du må derfor enten installere ved å bruke en ekstern DVD-spiller eller sette opp en usb-penn og installere fra den. Det er det siste jeg gjorde. Du laster da ned img-filen fra ubuntu. Så må du bruke et program for å sette opp usb-pennen. Du finner framgangsmåten her. Når alt dette er gjort, er det bare å stikke i usp-pennen, passe på at bios er satt opp slik at den kan starte opp fra usb-pennen og starte maskinen. Det er nå veldig få valg du må gjøre for å få en vellykket installasjon. Jeg husker første gang jeg fikk installert linux på en pc (rundt 1998), så tok det en over en dag for å få alt som kunne virke til å virke. Den gang var det RedHat som var tingen.

Progammer som følger med Ubuntu Netbook Remix 9.04 er OpenOffice, FireFox, F-spot (bildebehandling), Totem (filmavspilling), Rhytmbox (musikkavspiller), Pidgin (lynmeldingsklient) og mange flere. Skulle du ønske å installere et program, så er dette meget lett. Det finnes en egen programpakkebehandler som gjør jobben for deg.

Koffice er et alternativ til OpenOffice. Fordelen med dette programmet er at du har en bedre formeleditor (som jeg ikke har prøvd selv). Dette er faktisk et problem dersom vi ønsker å bruke åpne standarder. Du kan bruk MathType i Linux via Wine, men det er ikke en optimal løsning.

Du kan so selvsagt bruke LaTeX, men det er nok litt for høy brukerterskel her… Lyx er et alternativ though… Dette er LaTeX med wysiwyg-editor som gjør at de fleste kan bruke LaTeX:

Er problem jeg ville ha møtt i skolesammenheng, er alle progammene knyttet til en del utstyr vi bruker. PASCO har for eksempel ikke laget programmer og drivere for Linux. Men dette tror jeg vil endres på sikt siden vi nå ser en positiv trend i forhold til åpne standarder.

Uansett: Jeg digger det jeg ser. Ubuntu er blirr kjappere og jeg kan bare drømme om å få på pc-en like kjapt med Vista installert. Det tar 40 sekund fra du trykker på knappen til alt er klart! Og det på en treig eeePC 900…

PS. Fortalte jeg at alt dette er fritt og gratis? Noe å tenke på!

Digitale ferdigheter i matematikk…

NDLA dabateres heftig om dagene. Essensen av debatten er at de fleste lærerne vil ha valgfrihet og ikke bli påtvunget ett bestemt læremiddel. I den forbindelse er det blitt påpekt at vi har et lovpålagt krav om digital kompetanse i matematikkfaget. Innforstått: elevene må ha et digitalt læremiddel for å kunne få digital kompetanse. Jeg vil i dette innlegget argumentere for at dette absolutt ikke er sant. For å gjøre dette vil jeg se litt på hva digital kompetanse – eller digitale ferdigheter – vil kunne være i matematikkfaget. Hvilken kompetanse har en som har høy digital kompetanse knyttet til matematikkfaget?

Hva sier LK06?

Læreplanen beskriver grunnleggende ferdighet å bruke digitale verktøy slik:

Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk handlar om å bruke slike verktøy til spel, utforsking, visualisering og publisering. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale hjelpemiddel til problemløysing, simulering og modellering. I tillegg er det viktig å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med høvelege hjelpemiddel, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat.

Vi ser at den grunnleggende ferdigheten er godt knyttet sammen med fagkompetanse i matematikk. Det handler om utforsking av matematiske mønster og strukturer. Det handler om ulike strategier i en problemløsningsprosess og det handler om simulering og modellering. Jeg vil her vise en del eksempler som illustrerer hva som kan ligge i dette.

Utforsking

På figuren under ser du grafen til funksjonen f(x)=ax²+bx+c. Det er også tegnet inn arealet mellom grafen og linja som skjærer grafen i A og B. Hva skjer når du endrer a, b og c? Hva om du endrer punkta A og B? Utforsk figuren, og se om du kan finne en sammenheng. Se om du også kan vise at denne gjelder generelt.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



Elevene blir her bedt om å utforske figuren. De bruker et digitalt verktøy til utforsking. Vi kan også ta et steg videre og be elevene om selv å lage en slik figur. Det vil si at de kan lære seg å bruke et digitalt verktøy som GeoGebra (som jeg har brukt over). De får da også visualisert problemet på en ok måte. Det er også viktig at elevene klarer å visualiere ulike løsninger.

Se om du kan utforske og visualisere følgende:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter a, b, og c . Velg to nullpunkt a og b og la T være tangenten til f i x =(a+b)/2 (middelverdien til de to nullpunktene). Hva kan du si om denne tangenten?

Kan du vise at resultatet du (kanskje) oppdaget ovenfor alltid gjelder? En generell løsning på problemet finner du her. Denne er gjort med programmet Maxima.

Modellering

Modellering i denne sammenhengen dreier seg om å bruke digitale verktøy til å bearbeide, analysere og forenkle tallmateriale og sammenhenger fra situasjoner utenfor matematikken. Her er noen eksempler på spørsmål som går inn under en modelleringskompetanse:

• Hvordan skal vi prise en vare?
• Hvor sikker er en værmeldign?
• Hvor dyrt er det å ringe med mobiltelefon?
• Hvor lang tid vil en kule bruke på å trille ned et skråplan?

Alt det jeg har skrevet om så langt dreier seg om å bruke ulike verktøy til utforsking og simulering. Alt dette kan du gjøre uten å være online. Men det er en annen side ved den digitale ferdigheten som går på dette med å få tak i informasjon. Det handler om å finne fram til relevant informasjon på nettet som kan brukes videre i bearbeidelse og utforking eller modellering.

Her er et eksempel: Finn en modell for hvordan antall AIDS-tilfeller vil utvikle seg i Norge i de neste årene. Hvor skal du gå for å finne en slik informasjon? Hvordan skal du bearbeide tallmaterialet og hvilken modell vil passe?

Det å bare bruke pc uten noen didaktiske refleksjoner om hva dette er godt for, er etter min mening skummelt. Om de ulike digitale verktøyene blir brukt på en gal måte, så vil det kunne hemme læring. Dette er selvsagt ikke noe argument mot digitale verktøy i matematikkundervisningen. Bruker du tavla på en gal måte, så vil også det hemme læring. Poenget er at vi må tenke gjennom hvordan vi bruker de ulike verktøye og når vi skal bruke dem. Det er faktisk et viktig mål at elevene også skal gjøre dette. Vi vil at elevene skal bli metakognitivt bevisste!

Det som er viktig er at digitale verktøy ikke bare blir brukt til å finne ulike svar, men at elevene får jobbe godt med de ulike begrepene, lærer seg ulike strategier og får forståelse for matematikken.

Et siste poeng: Det er absolutt ikke noe garanti for at elevene vil få en god digital kompetanse i matematikk selv om læreverket ligger på en server. Når alt kommer til alt, så handler det ikke om hvilket læremiddel elevene bruker, men hvordan det jobbes med faget. Derfor er det i utgangspunkt ikke nødvendig å ha et digitalt læremiddel for å kunne oppfylle det lovpålagte kravet om digital kompetanse!