Noe å tenke på…

Richard Feynman er en fascinerende mann. Dersom du er på let etter en artig bok, så vil jeg anbefale boka Surely You're Joking, Mr. Feynman! Feynman fikk forresten Nobelpris i fysikk i 1965 for teorien om kvanteelektrodynamikk. Men før du bestiller boka, kan du ta en titt på følgende film:

Feynmann and The Mirror

Elevene utforsker stjernehimmelen

Det er vår og dagene blir stadig lengre. Selv om jeg lengter til sommeren, så vet jeg at astronomene går inn i en litt kjip tid. Lyset hindrer oss i å se ut i verdensrommet. Slik det er naturlig å legge opp lærestoffet i fysikk i Fysikk 1, så havner temaet Astrofysikk i april. Det er jo egentlig litt dumt, siden vi da får mindre sjanse til å gjøre observasjoner ute. Men en dårlig erstatning er å bruke et pc-program. I dag har elevene jobbet med Stellarium. Dette kan du laste ned på nettsiden http://www.stellarium.org . Med dette kan vi zoome inn på objekter som stjerner, tåker, planeter etc.

Etter at elevene hadde installert programmet (der gikk 10 min…) så var det litt tid til å bli kjent med det (=leking) og så til arbeid! Jeg laget noen oppgaver etter en ide fra en side som jeg dessverre ikke husker lenger. Uansett, så fikk de listet opp noen av de mest lyssterke stjernene på himmelen. Til disse skulle elevene finne absolutt lysstyrke, og spektraltype og stjernebilde. Når dette var gjort skulle de plassere dem inn i et HR-diagram.

Stjerne de skulle ta for seg var: Sola, Sirius, Rigil Kent, Arcturus, Vega, Capella, Procyon, Achernar, Betelgeuse, Hadar, Acrux, Altair, Aldebaran, Antares, Spica, Pollux, Fomalhaut, Mimosa, Regulus, Adhara, Canopus, Gacrux, Shaula, Rigel og Deneb.

En artig time for både lærer og elever. Jeg synes at det fort kan bli mye teori og lite praktisk for elevene når vi beveger oss inn i moderne fysikk (uten at jeg vil si noe negativt om teori!). Derfor er slike opplegg kjærkomne som en variasjon av undervisningen.

GeoGebra 3.2 for videregående

Ulike hefter og oppgaver som jeg har utviklet i løpet av de siste årene har nå blitt samlet og bearbeidet til en liten bok som selges via matematikksenteret. Boka er laget med tanke på Norsk GeoGebra-institutts kursvirksomhet. Du kan bestille boka her. Du kan lese et utdrag av boka her. 

 

Alle inntektene fra  boka går til å drifte Norsk GeoGebra-institutt.

Kvadratiske likninger i Matematikk 1T

I Matematikk 1T skal elevene lære å løse andregradslikninger. Det vil si at de skal kunne løse likninger på formen I Aschehaougs læreverk blir elevene presentert løsningsformelen for denne – den såkalte abc-formelen:

Dette blir gjort uten bevis eller noe argumentasjon. I Cappelen Damm sitt læreverk Sinus blir formelen presentert og det blir gitt noen eksempler og oppgaver før beviset blir gitt.

Jeg liker dårligst Aschehougs versjon. Formelen blir presentert og jobbet med i kapittel 1 og det er først i kapittel 5 at elevene blir introdusert til kvadratsetningene. Dette synes jeg er meget uheldig. Elever som velger 1T må for all del ikke lære at matematikk er et fag der de skal lære et sett med regler og prosedyrer som de skal kunne. Matematikk er mer enn dette. Eller kanskje vi kan si at dette ikke er matematikk i det hele tatt?

Jeg vil i dette innlegget dele noen tanker om hvordan jeg liker å introdusere elevene til kvadratiske likninger. Jeg pleier å starte med helt enkle likninger av typen . Geometrisk kan vi si at dette svarer til lengden av sidene i et kvadrat med areal lik 9. Men vi må selvsagt ikke glemme den negative løsningen. Når elevene har fått diskutert dette kan vi se på likninger av typen . Det vil si at

 

Dette pleier å gå greit. Problemet oppstår når vi skal se på likninger av typen . Nå er det ikke bare til å flytte over og ta kvadratrot. Her må det jobbes mer og det kan være instruktivt å gi en geometrisk løsning også her. Målet er jo at elevene skal forstå konseptet med å fullføre kvadrater. I dette tilfellet svarer likningen til å finne x slik at arealet til følgende rektangel blir lik 64:

Trikset vi her gjør er å dele biten til høyre i to like store deler:

Klipper vi opp langs den oransje linjen og flytter på den ene rektanglet, får vi:

Dette begynner å likne på et kvadrat. Den delen sommangler for at dette skal
bli et kvadrat har et areal som er . Det vil si at figuren under er 36
arealenheter større enn den opprinnelige figuren:

Denne figuren har med andre ord et areal lik 64 + 36 = 100. Sidene i dette
kvadratet har lengder lik x + 6. Vi får derfor:

Vi kan nå ta kvadratroten av begge sider og få

Det vil si at x=4 eller x=-16.

Når dette er gjort pleier jeg å gi tilsvarende oppgaver og kanskje noen med en liten vri på. Jeg har laget et lite hefte som viser mer detaler.

Poenget er at elevene forhåpentligvis vil forstå hva det innebærer å fullføre et kvadrat og at kanskje noen vil forstå den generelle utledningen av acb-formelen.

Synes du dette var interessant, kan du selvsagt bruke heftet lenket ovenfor.

Integrasjonsbegrepet

Vi jobber med integrasjon og har denne uken sett på omdreiingslegemer. Det vil si at vi har rotert grafen til en funksjon om x-aksen og så beregnet volumet av dette ved å dele opp volumet i disker med radius lik og tykkelse dx. Volumet blir da

Dette er standard pensum i R2 og det er ikke dette jeg vil skrive om her. Jeg liker å slenge litt ut med ekstra utfordringer til elevene og det gjorde jeg også denne gang. Her er oppgaven:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius R og indre radius r (som vist på figuren under)

 

En måte å løse denne oppgaven på er å finne en (eller flere) funksjoner som vi kan rotere om x-aksen. I dette tilfellet kan vi rotere øvre og nedre del av sirkelen som vist på figuren under:

 

 

Det vil si at vi først roterer den øvre (røde) halvsirkelen og deretter den nedre (blåe) halvsirkelen. Volumet av torusen blir da differansen til disse.

Det vil si at

 

og

 

Det er vel unødvendig å si at disse integralene kan være vanskelige og til dels tekniske å løse og det er vel derfor vi har CAS-verktøy!? Jeg bruker her wxMaxima og gjør følgende utregninger:

Altså ser vi at volumet av torusen er .

 

Vakkert? Kanskje det, men bare vent til du får se hva en av elevene kom opp med. I stedet for å gå rett løs på teknikken (slik jeg gjorde i mitt hode), så hadde denne eleven forstått selve integrasjonsbegrepet ganske godt. Så her er hvordan han tenkte:

Vi kan kutte torusen opp i mange små biter som tilnærmet blir sylindre.

 

Dersom vi snur annen hver av disse «kakestykkene» får vi noe som likner på følgende figur:

Figuren kan være noe missvisende, siden dette ikke er et todimensjonalt objekt, men noe som likner på  en syliner med radius r.  Deler vi opp i stadig flere slike, så vil det bli mer og mer lik en sylinder. I grensen vil det bli likhet. Hva er så høyden i denne sylinderen? Siden begge sidene nå er like lange, så blir det midt mellom ytre og indre omkrets i torusen. Den ytre omkretsen er

og den indre omkretsen er. Meidt mellom disse er da . Volumet blir derfor. Altså det samme som vi fant ved hjelp av wxMaxima.

 

Kult ikke sant!

Hva var nå vannstanden på julaften?

Her om dagen jobbet vi med det som læreboka i R2 kaller for ikke-lineære modeller. I videregående skole har modellering lett for å bli et synonym med regresjon. De mest vanlige regresjonene er de på formen

 

 

 

 

 

 

  og

  .

Alle disse kan du gjøre i program som GeoGebra og wxMaxima. Dessverre er det slik at elevene får servert tallmateriale som de så skal bearbeide. Det blir lite innhenting av egne data. Dette er ikke krise for de elevene som tar fysikk, siden de der ofte må gjøre målinger og ut fra disse lage ulige matematiske modeller.

Her om dagen jobbet elevene med sinus-regresjon (siste typen på lista over). I den forbindelse gav jeg dem oppgave å finne ut hvor høy vannstanden var i Bergen klokken 18:00 på julaften 2010. Grunnen til at jeg valgte denne dagen, er at yr.no oppgir vannstanden for dager framover i tid, men ikke før 1. januar 2011. De måtte derfor bruke de talla som er oppgitt for 2011 og lage en modell som de kan ekstrapolere bakover i tid.

 

Som lærer tenkte jeg at vi kunne se på vannstanden 1. januar, lage en modell ut fra denne dagen og så spole bakover i tid. Men eleven var smartere. Det var faktisk flere av dem som i stede så på alle dagene i januar dette året og vannstanden klokken 1800 disse dagene. Ut fra disse fikk de følgende graf:

Så utførte de en sinusregresjon på denne og fikk at

 

Så var det bare å ta . Denne verdien var litt høyere enn observert måling. Årsaken til denne «feilen» er at været påvirker tidevannet. I dette tilfellet var det hele 24 cm lavere vannstand enn modellene brukt av sjøkartverket. En slik vurdering av modellen hører selvsagt med til modelleringskompetansen til elevene.

 

Konklusjonen min: du lærer så lenge du har elever!

 

Bildet tatt av GudikFoto på Flickr med tittel Bergen 1 (Bryggen) på Flickr.

Arbeidsark i GeoGebra

Jeg vil i dette innlegget vise hvordan du kan lage arbeidsark som nettsider i GeoGebra. Det første du gjør er å lage selve GeoGebra-fila og velger så å eksportere til nettside.


Når en gjør dette, så får en følgende vindu opp:



Et tips før du kommer så langt er å tilpasse de ulike menyene. Dert gjør du ved å klikke på Tilpass verktøylinje under Verktøy:

Du får da opp følgende vindu:


Her kan du «Slette» verktøy. Dette gjelder kun for akkurat det arbeidsarket du nå lager, med mindre du lagrer innstillingene dine i GeoGebra under «Innstillinger». Dette kan være nyttig dersom du for eksempel ønsker at elevene selv skal gjøre ulike konstruksjoner som de ellers lett kan gjøre ved hjelp av et verktøy.
Her ser du hvordan en slik fil kan se ut etter at en del verktøy er tatt bort:


Når du har lært å lage slike arbeidsark, så kan det være at du faller for fristelsen å ta ett steg videre: å bruke Javascript! Hovedkilden du vil gå til for å lære dette er her.

<form>
<input onclick="document.applets[0].setVisible('tekst', true);" type="button" value="Vis funksjonsuttrykk" />
<input onclick="document.applets[0].reset();" type="button" value="Ny oppgave" /></form>

Jeg vil her vise et eksempel som muligens klargjør hva dette går ut på. Jeg vil vise hvordan jeg laget følgende ark. Poenget her er de to knappene under selve GeoGebra-fila. Disse er laget ved å legge til noen linjer etter applet-koden i html-fila. Det vil si at jeg har lagt til følgende linjer etter appleten:Dette gir disse knappene:

   

På GeoGebra siden nettsider finner du flere objekter og handlinger som kan legges til. På denne måten kan vi altså manipulere GeoGebra-fila ved knapper eller anndre innputs. Litt mer avansert, men kanskje nyttig for noen?