Besøk på institutt for fysikk og teknologi

I dag har jeg vært på tur med mine elever i Fysikk 1. Turen gikk til universitet og fysisk institutt (som nå altså heter institutt for fysikk og teknologi). Her fikk vi et bra opplegg med forelesninger fra master- og phd-studenter. Kjartan Olafsson stilte opp for oss og laget et kjekt program. Ikke rart at han fikk en ærespris for fremragende insats i formidling av fysikkfagets glede!

Slik så programmet ut:

kl. 1130-1145: Velkommen
kl. 1145-1230: Romfysikkshow v/Karl Magnus Laundal
kl. 1230-1250: Pause
kl. 1250-1330: Partikkelfysikkshow v/Peter L. Rosendahl
kl. 1330-1400: van de Graaff v/Kjartan Olafsson

Etter dette fikk elevene en omvisning på høyden og vi avsluttet med et verdig måltid på Pastasentral. Sistnevnte hadde sterke nostalgiske innslag for en tidligere UiB-student!

På båten hjem gikk diskusjonen livlig for seg med spørsmål om Higgspartikkelen, supersymmetrier og superstrengteori. Det var artig for lærer og elever å få høre fra forskningen som foregår på instituttet. Dette er et opplegg som anbefales. Men jeg lurer på om ikke elever i Fysikk 2 ville få enda større utbytte av opplegget enn i Fysikk 1. Det er i dette faget at partikkelfysikk er på planen. Men uansett: dette var inspirerende.

Her er forresten en film fra CERN:

This video is also available in other formats here »

Reasoning and sense Making in Statistics & Data analysis

På en av parallellsessjonen var jeg og hørte på Michael Shaughnessy. Dette var en virkelig god økt. Han snakket litt om dette med å samhandle med hverandre og med matematikken. Et av poengene hans var at resonnering rundt innsamlede date er av en litt annen art en resonnering i andre matematikkgrener (som er mer statisk og deterministisk). Han kom med en påstand som jeg fremdeles tygger på: Statistikk krever en kontekst (i motsetning til annen type matematikk).

Han tok utgangspunkt i Old Faithful, som er en geysir i Yellowstone-Nationalpark i Wyomig. I 1985 ble det samlet inn data fra denne geysiren i løpet av noen uker. Noen av disse dagene hadde den følgende tidsintervall (i minutt) mellom hver utblåsing:

1) 86, 71, 57, 80, 75, 77, 56, 81, 50, 89, 54, 90, 73, 60, 83

2) 65, 82, 84, 54, 85, 58, 79, 57, 88, 68, 76, 78, 74, 85, 75, 65, 76, 58,

3)  91, 50, 87, 48, 93, 54, 86, 53, 78, 52, 83, 60, 87, 49, 80, 60, 92, 43

4)  89, 60, 84, 69, 74, 71, 108, 50, 77, 57, 80 61, 82, 48, 81, 73, 62, 79

5) 54, 80, 73, 81, 62, 81, 71, 79, 81, 74, 59, 81, 66, 87, 53, 80, 50, 87

6)  51, 82, 58, 81, 49, 92, 50, 88, 62, 93, 56, 89, 51, 79, 58, 82, 52, 88,

7) 52, 78, 69, 75, 77, 53, 80, 55, 87, 53, 85, 61, 93, 54, 76, 80, 81, 59,

8) 86, 78, 71, 77, 76, 94, 75, 50, 83, 82, 72, 77, 75, 65, 79, 72, 78, 77

Hver rad representerer her ca en dags måling. Utfordringen vi fikk av Shaughnessy var å studere tallmaterialet og ta stilling til følgende: Sett at det nettopp har vært en utblåsning (som du ikke fikk med deg siden du kom for sent), hvor lenge tør du være vekke dersom du må få med deg neste utblåsing. Her kan det være greit å bruke ulike grafiske representasjoner og lete etter sammenhenger. Å være data-detektiver som Shaugnessy kalte det. Det var også viktig at vi diskuterte dette med hverandre, delte våre ideer og lærte av hverandre. Det var faktisk veldig gøy. Dette datamaterialet innbyr til videre utforsking!

Dersom du vil ha flere data, så finner du disse på denne siden siden. Det kan være fristende å vise på bloggen ulike representasjoner, men det skal jeg ikke gjøre. Utfordringen gis heller videre. Hvor lenge ville du vente?

Novemberkonferansen, åpningsforedrag av Bjørnar Alseth

Tittelen på foredraget til Alseth er "Sannsynlighet -- så viktig og så vanskelig". Alseth tar opp problemstillinger rundt sannsynlighetsbegrepet. Han viser på en humoristisk måte eksempler på hvordan hverdagen re fylt av usiker hendelser.

Alseth nevner eksempler på tilfeldige forsøk: spill, idrett (eksempel skiskyting). Han viste også en animasjon av regndråper som faller tilfeldig.

Sanssnysnlighet: tre store ideer:

• Sjanse, tilfeldighet, risiko
• Utfallsrom
• Måling av sannsynlighet.
  

(Fra Jones & Langrall, 2007, Research in probability: Responding to classroom realities. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on mathematics teaching and learning.

Alseth viste eksempler på spådommer. For eksempel Nostradamus spådom om at Lady Diana skulle omkomme i en ulykke. Problemet er at dette kan leses ut fra Nostradamus når vi ser bakover i tid. Men det var ingen som fant denne tragedien i Nostradamus før den skjedde.

Alseth holdt et underholdende foredrag med mange eksempler (flere en nevnt i dette innlegget), men jeg skulle ønske at han gikk mer inn i didaktikken. Han klarte å vise hvor viktig det er, men fikk ikke helt fram hvor vanskelig det er (som begrep) for elevene. Men det han fikk frem (og det var kanskje poenget) var at vi alle har vanskelig for å ta inn over oss at livet er fullt av tilfeldigheter. Dette viste han godt med eksemepler fra fotballsporten.

Ser jeg deg på Novemberkonferansen?

23. og 24. novmber avholdes den årlige Novemberkonferansen arrangert av Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (Matematikksenteret). Temaet for i år er «Statistikk og sannsynlighet» og jeg gleder meg til mange gode foredrag og prallellseksjoner. I år skal jeg bidra på en av disse, nærmere bestemt den første på tirsdagen. Da skal jeg vise hvordan GeoGebra kan brukes til å simulere en del statistiske forsøk, slik som for eksempel terningkast.

Klikk på bilder over for å gå til en side med selve simuleringen.

Lagre bilder fra Word

Dette innlegget blir kun et lite tips angående bilder i Word. La oss si at du har et Word-dokument med noen bilder som du vil bruke. Hvordan kan du da få tak i bildene i original størrelse?

Jeg vet om to måter du kan gjøre dette på. Den ene er enkel dersom du kun har ett bilde du vil ha ut, mens den andre passer best dersom det er mange.

Mange bilder

Dersom det er mange bilder, så er det aller enkleste å lagre dokumentet som en webside.

Først velger du «Lagre som» og velger «Andre formater». Under filtype velger du så Webside.

Velg en mappe hvor du vil plassere filene og et passelig navn på websiden. Selve websiden er du selvsagt ikke interessert i. Det er bildene som er det interessante. Disse ligger i en egen undermappe:

Ett bilde

Dersom det kun er noen få bilder du vil ha tak i, så er det en litt kjappere metode. Det kan nemlig være litt irriterende med alle mapper, xml-filer etc som blir laget vet lagring som webside. Så her er en annen måte. Klikk på bildet du vil ekstrahere og kopier det (Ctrl-c). Åpne Powerpoint og lim det inn i en ny powerpointfil.Høyreklikk på bildet (i Powerpoint) og velg «Lagre som bilde». Da er det bare til å velge hvor du vil ha bildet og du er ferdig.

Modellus – tips til Fysikkundervisningen!

I Fysikk 1 og 2 i videregående skole er et av hovedområdene å kunne beskrive naturen med matematikk. For Fysikk 2 blir dette beskrevet slik:

Hovedområdet handler om hvordan matematikk blir brukt som språk i fysikk, ved bruk av vektorregning, differensialregning og integralregning. Matematikken som grunnlag for å modellere og gjøre beregninger ved hjelp av datamaskiner og vurdere modellers gyldighet er sentralt i hovedområdet.

Det er min erfaring at denne koblingen mellom matematikk og fysikk kan falle mange elever tungt. Det kan lett bli komplisert når vi skal beskrive naturen. I dette innlegget vil jeg ta et eksempel fra mekanikken og jeg vil se hvorda vi kan briuke programmet Modellus til å løse problemet.

Vi skal se på en partikkel som faller i tyngdefeltet. Denne gangen skal vi ikke se bort fra luftmotstanden, men sette opp en matematisk modell for denne. Det er to alternativer som peker seg ut. Det ene er et luftmotstanden L er proporsjonal med farten

$$ L=k\cdot v$$

Dette gir en god modell når farten en liten. Dersom dette ikke er tilfellet, så kan følgende være en bedre modell:

$$L=k\cdot v^2$$

Problemet med denne modellen er at den gir en komplisert ikke-lineær differensiallikning, mens den første gir en differensiallikning som elever i R2 når skal kunne løse. Det er her Modellus kommer inn. Dette programmet består av flere vinduer, ett hvor vi skriver inn modellen, et grafvindu, et tabellvindu og et tegnefelt.

I vinduet med den matematiske modellen skriver vi inn alt vi trenger. I dette tilfellet vi det si å sette opp Newtons 2. lov:

På en måte vil jeg si at det er dette som er utfordringen sett fra en fysikklærers ståsted. Her må en passe på at en ikke bruker bevegelsesformlene som elevene har jobbet så mye med. Hvorfor? Fordi disse forutsetter konstant akselerasjon, noe som ikke er tilfelle her. En annen ting er at alle variabler må defineres. I modellen for luftmotstanden inngår farten v. Derfor må denne spesifiseres som den deriverte til s.  Videre må sammenhengen mellom fart og akselerasjon settes opp (siste likning). Dette er sammenhenger som programmet ikke kjenner til og som vi må mate inn.

Det fine med Modellus er at du kan teste modellen på et objekt i tegnefeltet. Nedenfor ser du en animasjon av en slik test av akkurat denne modellen. I dette tilfellet er k=0,1 og massen lik 10 kg.

I følge denne modellen vil farten gå mot ca 31 m/s. Vi ser også at G og L etter hvert blir like store.

 

Under panseret ligger det masse numeriske beregninger som ville være alt for avanserte for en elev i videregående. Men selve modellene er innenfor det vi kan forvente av en elev å forstå.

Digitale verktøy i matematikklæring…?

Med bærbar pc på pulten har elevene større tilgang på digitale hjelpemidler enn med en vanlig kalkulator. På vår skole bruker vi følgende programmer i undervisningen: Excel, GeoGebra og wxMaxima. Foruten disse har også elevene kalkulator – de fleste en grafisk kalkulator.

I dette blogginnlegget vil jeg reflektere litt over bruken av slike verkøtøyprogram i forhold til elevenes læring av matematikk. Jeg vil ta for meg programmet wxMaxima og se på noen eksempler som belyser ulike utfordringer knyttet til ulike oppgavetyper elevene jobber med.

wxMaxima er et symbolmanipulerende verktøy. Det innebærer at du med dette kan finne eksakte løsninger på ulike oppgaver. Vil du løse liknikngen $x^3-2x+1=0$? Ingen problem. Du skriver likningen inn i programmet og klikker på OK og vips så får du ut de tre eksakte røttene: $x=1,x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2} , x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

Hva har så dette med matematikk å gjøre? Svaret er ganske enkelt: ingen ting! Men dette betyr ikke at slike digitale verktøy er meningsløse i matematikklæring. Tverrt om! Poenget er at slike verktøy ikke er hensiktsmessige i elevens matematikklæring når det gjelder slike typer oppgaver. Jeg bruker en hovedregel i min undervisning at før elevene får bruke slike digitale vertøy i deres arbeid med matematikken, så skal de først ha jobbet med fagstoffet for hånd. I videregående har vi nå todelt eksamen, så det vektlegges at elevene skal kunne løse ulike oppgaver uten hjelpemidler. Det er først når dette er på plass at de digitale vertøyene tilbys. Så da blir det naturlige spøsrmålet: hvorfor det? Hvofor i det hele tatt tilby elevene slike vertøy?

Vi kan dele bruke av IKT i matematikkfaget i to grove kategorier:

1. IKT som forenkler. Vi kan bruke IKT til å fornkle ulike oppgaver slik at vi slipper å bruke så mye tid til tekniske detaljer.
2. IKT til nyskaping. Vi kan bruke digitale vertøy til nye typer oppgaver på en måte som ikke er mulig uten digitale vertøy.

I R2 skal elevene regne ut vektorprodukt til vektorer i rommet. Dette er litt styr og det er lett å gjøre en slurvefeil. Formelen for et slik produkt er $ [u_1, u_2, u_3]\times [v_1, v_2, v_3 = [u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1]$

Her kan det regnes som en velsignelse å kunne skrive dette inn i wxMaxima og få svaret rett ut:

Ut kommer svaret: $\vec{u}\times\vec{v}=[16, -14, 10]$.

Hva så med den andre kategorien? Kan det tenkes at vi kan bruke digitale vektøy på nye typer oppgaver til elevene? Dette er en stor utfordring for matematikklærere! Hvilke oppgaver passer til våre elever? Hvor finner vi de ulike oppgavene? Hvordan jobbe med elevene? Jeg ser at følgende oppgave ofte blir gitt når elevne skal bruke digitale verktøy på i matematikkunderviningen:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter. Velg to nullpunkt og la T være tangenten til f i x lik middelverdien til de to nullpunktene. Hva kan du si om denne tangenten?

Her er vi ute etter Lorents Bies setning som sier at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet. 

Å oppdage denne sammenhengen er en ting. Dette synes jeg er lettest å gjøre i GeoGebra. Men å vise det generelt er en annen ting. Dette krever en annen form for matematisk kompetanse enn å løse ferdig oppstillte oppgaver. Ideelt sett er det en slik kompetanse vi vil at elevene skal få, ikke sant?  Men dette er lettere sagt enn gjort. Med fare for å ødelegge de som måtte få denne oppgaven, så viser jeg her hvordan jeg har løst oppgaven generelt ved hjelp av wxMaxima:

Her vil jeg si at vi får bruk for symbolmanipuleringen på en god måte. Resultatet er bevist. Vi har startet med et tredjegradsspolynom med tre nullpunkt a, b og c. Vi ha valgt to av nullpunkta (a og b) og vi har funnet tangenten i ((a+b)/2, f((a+b)/2)) og funnet nullpunktet til denne til å være c. Men å gjøre dette er langt i fra lett! Kan vi egentlig kreve dette av en elev i videregående skole?

Problemet dukket opp på eksamen i R1 i vår. På oppave 4, alternativ II fikk elevene en oppgave som dreiede seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

I de to eksemplene elevene jobbet med, går det fram at forholdet blir det samme, nemlig det gyldne snitt. Her kunne det være interessant å vise dette generelt, noe jeg har gjort i et tidligere blogginnlegg. Men i sensorveildeningen står det at dette ikke kreves for full uttelling. Hvorfor? Fordi det er å kreve for mye av elevene…

Hvorfor er det slik? Morten Blomhøj har i sin forsking identisfisert tre måter elevene bruker digitale verktøy:

1. Den usikre og defensive elevvirksomheten
2. Den løsningsoriterte elevvirksomheten
3. Den reflekterende elevvirksomheten

Den første elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene kun har en instrumentell forståelse av ferdighetene jf likningen tidlig i dette blogginnlegget. Det klikkes og trykkes og ut kommer svara. Blomhøj skriver i artikkelen Læringsvilkår i datamskinbasert matematikkundervisning (i Matematikk for skolen, Barbro Grevholm red.):

Eleven fokuserer på å utvikle en instrumentell og prosessoirentert forsåelse, men de mangler ofte en grunnleggende forståelse av de matematiske objektene de arbeider med.

Den løsningsorienterte virksomeheten dreier seg om ytre forbindelser til det faglige innholdet i oppgavene. Her er det ikke forståelse som er viktig, men det å kunne klare å finne det rette svaret. Denne elevvirksomheten skiller seg ut fra den første ved at elevene er i stand til å formidle svarene sine på en faglig relevant måte. Her brukes IKT som forenkler.

Den reflekterte elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene vurdere ulike løsningsmetoder og er fleksible i forhold til disse. De driver med det som Schoenfeld kaller for monitoring. De overvåker sin egen løsniongsprosess og stiller seg selv spørsmål som: «Fører dette fram til svaret?» og «Hvorfor gjør vi dette? Finnes det en letter måte?»

Blomhøj skriver videre i sin artikkel:

Hvis undervisningen skal kunne støtte utvikloingen av en reflekterende elevvirksomhet, er det helt åpenbart nødvendig at elevene arbeider tilstrekkelig ofte med problemløsing, det vil si at de beskjeftiger seg med oppgaver som de er interessert i å løse, men som de ikke kan løse umiddelbart ved å bruke en metode som er velkjent for dem.

Dette er jeg hjertens enig i. Men jeg synes det er veldig vanskelig å få dette til i undervisningen. Det er to utfordringer som jeg spesielt vil nevne: den ene er problemet med å finne gode oppgaver som egner seg på de ulike trinn. Det må være oppgaver som passer til læreplan og fagstoff. Det er min erfaring at dette er noe som de fleste strever med. Den andre utfordringen er at dette vil nødvendigvis ta tid. Jeg kjenner pensumpresset er ganske stort i videregående skole og jeg skulle ønske at læreplangruppa hadde kuttet i hvertfall et hovedemne…

Blomhøj skriver at vi ikke har noen grunn til å forvente at innføring av datamskiner vil gi noen rasjonaliseringsgevinst i forhold til elevenes innlæring av det vanlige faglige innholdet. Men de vil lære seg å bruke digitale verktøy…

Hva er så konklusjonen på et litt lengre enn vanlig blogginnlegg? Å innføre digitale verktøy innebærer en didaktisk utfordring for læreren. Ved tradisjonelle oppgaver er det viktig å la elevene jobbe uten digitale vertøy for så å innføre vertøyene på et senere tidspunkt. Vi ønsker ikke at elevene kun skal ha en instrumentell forståelse, men vil ha refleksjoner og forståelse. Vi må kanskje tenke gjennom en gang til hva det vil si å ha en matematisk kompetanse…?!?