Pages

tirsdag 29. mars 2011

Kvadratiske likninger i Matematikk 1T

I Matematikk 1T skal elevene lære å løse andregradslikninger. Det vil si at de skal kunne løse likninger på formen tex:[[ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0.]] I Aschehaougs læreverk blir elevene presentert løsningsformelen for denne – den såkalte abc-formelen:

tex:[[x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D]] Dette blir gjort uten bevis eller noe argumentasjon. I Cappelen Damm sitt læreverk Sinus blir formelen presentert og det blir gitt noen eksempler og oppgaver før beviset blir gitt.

Jeg liker dårligst Aschehougs versjon. Formelen blir presentert og jobbet med i kapittel 1 og det er først i kapittel 5 at elevene blir introdusert til kvadratsetningene. Dette synes jeg er meget uheldig. Elever som velger 1T må for all del ikke lære at matematikk er et fag der de skal lære et sett med regler og prosedyrer som de skal kunne. Matematikk er mer enn dette. Eller kanskje vi kan si at dette ikke er matematikk i det hele tatt?

Jeg vil i dette innlegget dele noen tanker om hvordan jeg liker å introdusere elevene til kvadratiske likninger. Jeg pleier å starte med helt enkle likninger av typen tex:[[x%5E2-9%3D0]]. Geometrisk kan vi si at dette svarer til lengden av sidene i et kvadrat med areal lik 9. Men vi må selvsagt ikke glemme den negative løsningen. Når elevene har fått diskutert dette kan vi se på likninger av typen tex:[[%28x-4%29%5E2-16%3D0]]. Det vil si at

 tex:[[%28x-4%29%5E2%3D16%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%20x-4%3D%5Cpm4%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%20x%3D4%5Cpm%204]]

Dette pleier å gå greit. Problemet oppstår når vi skal se på likninger av typen tex:[[x%5E2%2B12x%3D64]]. Nå er det ikke bare til å flytte over og ta kvadratrot. Her må det jobbes mer og det kan være instruktivt å gi en geometrisk løsning også her. Målet er jo at elevene skal forstå konseptet med å fullføre kvadrater. I dette tilfellet svarer likningen til å finne x slik at arealet til følgende rektangel blir lik 64:

image

Trikset vi her gjør er å dele biten til høyre i to like store deler:

image

Klipper vi opp langs den oransje linjen og flytter på den ene rektanglet, får vi:

image

Dette begynner å likne på et kvadrat. Den delen sommangler for at dette skal
bli et kvadrat har et areal som er tex:[[6%5Ccdot%206%3D36]]. Det vil si at figuren under er 36
arealenheter større enn den opprinnelige figuren:

image

Denne figuren har med andre ord et areal lik 64 + 36 = 100. Sidene i dette
kvadratet har lengder lik x + 6. Vi får derfor:

tex:[[%28x%2B6%29%5E2%3D100%0D%0A]]

Vi kan nå ta kvadratroten av begge sider og få

tex:[[x%2B6%3D%5Cpm10%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%20x%3D-6%5Cpm%2010%0D%0A]]

Det vil si at x=4 eller x=-16.

Når dette er gjort pleier jeg å gi tilsvarende oppgaver og kanskje noen med en liten vri på. Jeg har laget et lite hefte som viser mer detaler.

Poenget er at elevene forhåpentligvis vil forstå hva det innebærer å fullføre et kvadrat og at kanskje noen vil forstå den generelle utledningen av acb-formelen.

Synes du dette var interessant, kan du selvsagt bruke heftet lenket ovenfor.

tirsdag 8. mars 2011

Integrasjonsbegrepet

Vi jobber med integrasjon og har denne uken sett på omdreiingslegemer. Det vil si at vi har rotert grafen til en funksjon om x-aksen og så beregnet volumet av dette ved å dele opp volumet i disker med radius lik tex:[[f%28x%29]] og tykkelse dx. Volumet blir da

tex:[[V%3D%5Cpi%5Cint_a%5Eb%20%28f%28x%29%29%5E2%20%5C%2Cdx]]

Dette er standard pensum i R2 og det er ikke dette jeg vil skrive om her. Jeg liker å slenge litt ut med ekstra utfordringer til elevene og det gjorde jeg også denne gang. Her er oppgaven:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius R og indre radius r (som vist på figuren under)

image

 

En måte å løse denne oppgaven på er å finne en (eller flere) funksjoner som vi kan rotere om x-aksen. I dette tilfellet kan vi rotere øvre og nedre del av sirkelen som vist på figuren under:

 

image

 

Det vil si at vi først roterer den øvre (røde) halvsirkelen og deretter den nedre (blåe) halvsirkelen. Volumet av torusen blir da differansen til disse.

Det vil si at

tex:[[V_1%3D%5Cpi%5Ccdot%20%5Cint_%7B-r%7D%5Er%20%28R-r%2B%5Csqrt%7Br%5E2-x%5E2%7D%29%5E2%20dx]] 

og

tex:[[V_2%20%3D%20%5Cpi%5Ccdot%20%5Cint_%7B-r%7D%5Er%20%28R-r-%5Csqrt%7Br%5E2-x%5E2%7D%29%5E2%20dx%20%0D%0A]]

 

Det er vel unødvendig å si at disse integralene kan være vanskelige og til dels tekniske å løse og det er vel derfor vi har CAS-verktøy!? Jeg bruker her wxMaxima og gjør følgende utregninger:

image

Altså ser vi at volumet av torusen er tex:[[2%5Cpi%5E2%5Ccdot%20r%5E2%28R-r%29]].

 

Vakkert? Kanskje det, men bare vent til du får se hva en av elevene kom opp med. I stedet for å gå rett løs på teknikken (slik jeg gjorde i mitt hode), så hadde denne eleven forstått selve integrasjonsbegrepet ganske godt. Så her er hvordan han tenkte:

Vi kan kutte torusen opp i mange små biter som tilnærmet blir sylindre.

 

image

Dersom vi snur annen hver av disse «kakestykkene» får vi noe som likner på følgende figur:

image

Figuren kan være noe missvisende, siden dette ikke er et todimensjonalt objekt, men noe som likner på  en syliner med radius r.  Deler vi opp i stadig flere slike, så vil det bli mer og mer lik en sylinder. I grensen vil det bli likhet. Hva er så høyden i denne sylinderen? Siden begge sidene nå er like lange, så blir det midt mellom ytre og indre omkrets i torusen. Den ytre omkretsen er

tex:[[2%5Cpi%20R%0D%0A]] og den indre omkretsen ertex:[[%202%5Cpi%28R-2r%29]]. Meidt mellom disse er da tex:[[2%5Cpi%28R-r%29]]. Volumet blir derfortex:[[%20V%3DG%5Ccdot%20h%20%3D%20%5Cpi%20r%5E2%5Ccdot%202%5Cpi%28R-r%29%3D%5Cpi%5E2%5Ccdot%20r%5E2%28R-r%29]]. Altså det samme som vi fant ved hjelp av wxMaxima.

 

Kult ikke sant!