Pages

mandag 22. juni 2009

Hva kan vi forvente av en elev i R1 eller R2?

I forbindelse med noen kjennetegn på måloppnåelse som jeg har laget til R1 (og S2), ble det en interessant diskusjon av hva vi kan forvente oss av en elev som velger matematikk R1. Utgangspunktet var kompetansemålet som tar for seg grenser og kontinuitet. I LK06 står det at eleven skal kunne gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare. Hva betyr dette? Hvor presist skal vi kunne forvente oss at eleven skal kunne gjøre rede for grensebegrepet? Hva kjennetegner høy grad av måloppnåelse?

For å svare på dette, vil jeg ta et lite historisk tilbakeblikk. Deretter vil jeg se litt på læringsteoretisk modeller som sier noe om abstraksjonsnivået og forståelse av matematiske begreper.

Historiske betraktninger

De første antydningene til et grensebegrep finner vi allerede i antikkens verden. Eudoksos fra Knidos er kjent for uttømmingsmetoden (engelsk: method of exhaustion). Denne videreutviklet Euklid, og essensen er at du kan f.eks. finne arealet av en sirkel ved å innskrive et regulært polygon. Dersom du øker antall kanter, så vil arealet til polygonet stadig bli mer lik arealet til sirkelen. Dersom du lar antall kanter gå mot uendelig, så vil du få likhet. Men dette ville selvsagt ikke grekerne gjøre, som ungikk uendelighetsbegrepet for enhver pris. Men prinsippet var der: Du kan få arealet til å bli bedre og bedre, dess flere kanter polygonet har.

Figur som illustrerer Arkimedes metode for å finne volum av en kule Arkimedes brukte denne metoden til å finne volumet av en kule med en gitt radius. Her var ideen å dele opp visse figurer i små skiver med en liten tykkelse (i dag ville vi klalt tykkelsen ∆x). Ved å ballansere disse skivene på en vektstang og bruke at angulært moment er null (hopper over detaljer her, kommer tilbake til dette ved et senere innlegg), så fant han til slutt ut at volumet av en kule er fire ganger arealet til en sirkel med samme radius delt på tre. I resonnementet her må vi la ∆x gå mot null. Og det var det Arkimedes i praksis gjorde. I dag vil vi si at Arkimedes regnet ut et integral. Men slike begreper snakket de ikke om på den tid.

Hopper vi fram ca 1900 år kommer vil til Newton og Leibniz. Disse blir regnet som grunnlegerne av integral- og differensialregningen. Ideene bak Newtons og Leiniz’ teori er nok så like, men notasjonen er ganske annerledes. Det er fra Leibiz av vi har skrivemåten dy/dx. Han regnet uhemmet med infinitessimaler. Det vil si uendelig små størrelser. Dersom vi skal derivere funksjonen y=x2 så ser vi på kvotienten

image

Setter vi nå dx=0, så får vi at den deriverte til y=x2 er lik 2x, dvs at dy/dx=2x. Men kan vi egentlig gjøre dette? I kvotienten vi startet med delte vi jo på dx, og så satte vi plutselig dx=0… Dette kan vel ikke være lov?

Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller Newton derimot snakket om sine “fluents”. Det vil si at han så på de variable som størrelser som kunne endre, akkurat som en flytende strøm av veske kan endres. Newton ville sagt at dx skulle flyte mot null (selv om han ikke akkurat brukte denne notasjonen. Newton ville ha byttet ut en variabel z med z+oż og latt o forsvinne mot null).

Den første kritikeren til denne måten å resonnere på kom utenfra. Det var biskop George Berkeley (1685 – 1753) som satte fingeren på problemet i artikkelen The analyst. Der skriver han kritisk om Newtons “fluxions” (disse o-ene som går mot null):

And what are these fluxions? The velocities of evanescent increments. And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them ghosts of departed quantities?

Det var ikke vanskelig å se at Berkeley hadde et poeng. Noe måtte gjøres og kanskje den første som tok et tak i dette var Jean-le-Rond d’Alembert (1717-1783). Han forslo at integral- og differensialregningen skulle bassere seg på grenser.  Ideen hans var å se på kvotienenten u/z=(f(x+∆x)-f(x))/∆x (i vår notasjon). Han definerte da dy/dx til å være det tall som  u/z nærmet seg når u og z nærmet seg null. Vi ser her at grensebegrepet begynner å komme tydeligere fram. Men det er fremdeles upresist etter dagens standard. Men d’Alembert var på rett spor.

Augustin-Louis Cauchy Neste store matematiker som jeg vil trekker fram er Cauchy. Han formulerte en enda mer presis formulering av grensebegrepet:

When the values successively attributed to the same variable approach a fixed value indefinitely, in such a way as to end up by differing from it as little as one could wish, this last value is called the limit of all the others.

Legg merke til at Cauchy bruker ord som approach. Det vil si at det fremdeles er en slags dynamisk forståelse av grensene. Det er noe som nærmer seg noe annet. Det var først Weierstass som laget en statisk deinisjon – den så kalte epsilon-delta-definisjonen. Den lyder slik:

Vi sier at f(x) får mot L når x går mot a dersom det er slik at for enhver ε>0 finnes en δ>0 slika at  0<| x-a |< δ  medfører at  | f(x) - L |<ε.

Didaktiske betraktninger

I den lille historiske gjennomgangen over håper jeg å ha fått fram tydelig at grensebegrepet har en lang historie og at det tok lang tid før vi fikk den presise definisjonen som vi bruker i dag. Mitt poeng er at vi ikke gjør noe feil når vi ikke tar med den rigoriøse Weierstrass-definisjonen, vi er bare ikke så presise. Jeg tror at Newton hadde en viss forståelse for grensebegrepet, for å si det på den måten. Men det betyr nødvendigvis ikke at vi ikke skal kunne forvente at flinke elever skal kunne klare å jobbe med en slik definisjon. Eller?

Jeg synes det er viktig at elever i videregående skole som har ambisjoner innenfor realfaga ikke bare får øvelser i å regne, men at de også får en viss forståelse for den formelle siden med faget. Viser en elev som kan regne ut grenser ved å faktorisere visse polynomer, forkorte og så sette inn grenseverdien at han eller hun har høy måloppnåelse (karakter 5 eller 6)? Ikke sånn i utgangspunktet! Hva skal så til? Min konklusjon så langt er at en dynamisk forståelse er bra nok på dette nivå. Jeg forventer at eleven skal si at funksjonen nærmer seg en viss verdi når x nærmer seg en verdi, men ikke bli lik. Det vil si at jeg ikke krever mer enn det som d’Alembert sa. Det betyr ikke at en elev ikke skal møte epsilon-delta-definisjonen, men at dette vil være mer en hva som skal til for å få topp karakter.

En annen ting. Kan vi forvente at den jevne elev skal få utbytte av en slik rigoriøsitet? Det tviler jeg litt på. Det er en del pedagogiske teorie som prøver å beskrive elevers læring. Mange av disse går i retning av ulike taxonomier. Det vil si at elevene ikke har en kontinuerlig læringskurve, men at det går litt i rykk og napp. Den mest kjente teorien er kanskje Piagets stadieteori. En annen slik taksonomi er den så kalte SOLO-taksonomien til Biggs og Collis. SOLO står for

Structure of
Observed
Learning
Outcomes

I denne er det fem nivå:

  1. Pre-strukturelt:  eleven skaffer seg usammenhengende informasjon.
  2. Uni-strukturelt: enkle og opplagte sammenhenger finnes, men blir ikke brukt på en vesentlig måte
  3. Multistrukturelt:En rekke sammenhenger blir brukt, men ikke på en helhetlig måte.
  4. Relasjonelt:  Eleven klarer å se ulike sammenhenger i relasjon til hverandre.
  5. Utvidet abstrakt: eleven ser ikke bare sammenhenger ut fra en kontekst, men klarer å generalisere disse til andre områder.

Felles for slike taksonomier er at i det øverste nivået viser elevene evne til abstraksjon og teoretisering. van Hieles har også en slik taksonimi knyttet til geometriske former. På det øverste nivå i van Hieles har vi aksiomatisering. Mitt poeng er at en statisk forståelse av grenseberepet forutsetter at eleven er på et utvidet abstrakt nivå, noe jeg tviler mange elever på vg 2 er. Men dette har jeg egentlig ikke dekning for å si. Det er kun bassert på erfaringer.

Konklusjonen min er derfor at det blir for mye å forvente av en elev på vg2 at han eller hun skal kunne aktivt bruke epsilon-delta-definisjon for å bevise ulike grenseverdier. Men noen elever er der, og disse kan godt møte slike utfordringer allerede i videregående skole. Men har vi tid til slilk tilpasset opplæring?  

fredag 19. juni 2009

Bokanbefaling: Making the invisible visible

image Har akkurat lest ferdig en meget interessant bok som jeg vil anbefale på det varmeste. Boka heter The Language og Mathematics og er skrevet av Keith Devlin. I boka demonsterer Dewlin sitt syn på matematikkfaget: det er en søken etter mønster og strukturer. For å gjøre dette tar han oss med på en vandring i matematikkens landskap som strekker seg fra rundt 600 f.Kr fram til i dag. Dewlin klarer på en utmerket måte å få fram strukturen i faget og vi får lære om mange tema innenfor faget på en interessant og lærerik måte. Boka forutsetter ikke mye forkunskaper, men den som har tatt noen studiepoeng i matematikk kan lese den på senga uten problem.

Vi får lære om blant annet klassisk Euklidsk geometri, teori rundt tesseleringer, algebraens utvikling, andre typer geometrier (Sfærisk, hypergeometrisk), analysens utvikling og topologi. Han viser også hvordan matematikken er brukt i aksiomatisering av språkteori (dette kunne jeg ikke noe om fra før), logikk (som han kaller for «Patterns of the mind», og ulike nettverk. Han har en fenomenal innføring i topologi. Et av eksemplene han bruker er et kart av London Undergrpund.

image

Alle som har vært i London vet at dette kartet ikke forteller noe om geometrien til London. Det vil si at avstander ikker er en relevant egenskap til dette kartet, men snarerer posisjon og rekkefølge. Dette er topologiske egenskaper. Med mange slike eksempler får vi en lett innføring i matematikken som omtales og alt blir satt i sin historiske kontekst. Jeg bare digger slike bøker!    

lørdag 13. juni 2009

Ubuntu 9.04 Netbook Remix

For et år siden kjøpte jeg en Asus EeePc. Selv synes jeg en slik NettPC har for liten skjerm og for lite tastatur. Men det synes ikke ungene og eldsteman på snart 11 har brukt den mye til skolearbeid.

"4 March: Computer talk" av Leo Kan på Flickr. Lisens:  CC-by-nc-nd I dag har jeg installert Ubuntu 9.04 Netbook Remix på maskinen. Dette er en linuxversjon som er designet med tanke på små skjermer med dårlig oppløsning. Nedenfor ser du et skjermdump av skrivebordet slik du møter det etter oppstart. Her finner du lett de ulike programmene og mappene som du bruker. Dersom vi ser bort fra print-serveren som vi har i huset, så er dette første gang at linux har virket 100% uten at jeg har måtte fikle med ulike drivere. Alt virket!

ubuntu 

Jeg måtte dog fikle litt med print-serveren, men et lite søk på ubutus brukerforum gav løsningen umiddelbart. Vi har en D-link Print Server DPR1260 og veiledningen på oppsett av skriver fant jeg her

Et problem du møter når du skal sette opp en slik NettPC (som slike minipc-er kalles) er at de ikke har CD-rom eller DVD-spiller. Du må derfor enten installere ved å bruke en ekstern DVD-spiller eller sette opp en usb-penn og installere fra den. Det er det siste jeg gjorde. Du laster da ned img-filen fra ubuntu. Så må du bruke et program for å sette opp usb-pennen. Du finner framgangsmåten her. Når alt dette er gjort, er det bare å stikke i usp-pennen, passe på at bios er satt opp slik at den kan starte opp fra usb-pennen og starte maskinen. Det er nå veldig få valg du må gjøre for å få en vellykket installasjon. Jeg husker første gang jeg fikk installert linux på en pc (rundt 1998), så tok det en over en dag for å få alt som kunne virke til å virke. Den gang var det RedHat som var tingen.

Progammer som følger med Ubuntu Netbook Remix 9.04 er OpenOffice, FireFox, F-spot (bildebehandling), Totem (filmavspilling), Rhytmbox (musikkavspiller), Pidgin (lynmeldingsklient) og mange flere. Skulle du ønske å installere et program, så er dette meget lett. Det finnes en egen programpakkebehandler som gjør jobben for deg.

Koffice er et alternativ til OpenOffice. Fordelen med dette programmet er at du har en bedre formeleditor (som jeg ikke har prøvd selv). Dette er faktisk et problem dersom vi ønsker å bruke åpne standarder. Du kan bruk MathType i Linux via Wine, men det er ikke en optimal løsning. image

Du kan so selvsagt bruke LaTeX, men det er nok litt for høy brukerterskel her… Lyx er et alternativ though… Dette er LaTeX med wysiwyg-editor som gjør at de fleste kan bruke LaTeX:

lyx

Er problem jeg ville ha møtt i skolesammenheng, er alle progammene knyttet til en del utstyr vi bruker. PASCO har for eksempel ikke laget programmer og drivere for Linux. Men dette tror jeg vil endres på sikt siden vi nå ser en positiv trend i forhold til åpne standarder.

Uansett: Jeg digger det jeg ser. Ubuntu er blirr kjappere og jeg kan bare drømme om å få på pc-en like kjapt med Vista installert. Det tar 40 sekund fra du trykker på knappen til alt er klart! Og det på en treig eeePC 900…

PS. Fortalte jeg at alt dette er fritt og gratis? Noe å tenke på!

torsdag 11. juni 2009

Digitale ferdigheter i matematikk…

NDLA dabateres heftig om dagene. Essensen av debatten er at de fleste lærerne vil ha valgfrihet og ikke bli påtvunget ett bestemt læremiddel. I den forbindelse er det blitt påpekt at vi har et lovpålagt krav om digital kompetanse i matematikkfaget. Innforstått: elevene må ha et digitalt læremiddel for å kunne få digital kompetanse. Jeg vil i dette innlegget argumentere for at dette absolutt ikke er sant. For å gjøre dette vil jeg se litt på hva digital kompetanse – eller digitale ferdigheter – vil kunne være i matematikkfaget. Hvilken kompetanse har en som har høy digital kompetanse knyttet til matematikkfaget?

Hva sier LK06?

Læreplanen beskriver grunnleggende ferdighet å bruke digitale verktøy slik:

Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk handlar om å bruke slike verktøy til spel, utforsking, visualisering og publisering. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale hjelpemiddel til problemløysing, simulering og modellering. I tillegg er det viktig å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med høvelege hjelpemiddel, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat.

Vi ser at den grunnleggende ferdigheten er godt knyttet sammen med fagkompetanse i matematikk. Det handler om utforsking av matematiske mønster og strukturer. Det handler om ulike strategier i en problemløsningsprosess og det handler om simulering og modellering. Jeg vil her vise en del eksempler som illustrerer hva som kan ligge i dette.

Utforsking

På figuren under ser du grafen til funksjonen f(x)=ax2+bx+c. Det er også tegnet inn arealet mellom grafen og linja som skjærer grafen i A og B. Hva skjer når du endrer a, b og c? Hva om du endrer punkta A og B? Utforsk figuren, og se om du kan finne en sammenheng. Se om du også kan vise at denne gjelder generelt.
















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



Elevene blir her bedt om å utforske figuren. De bruker et digitalt verktøy til utforsking. Vi kan også ta et steg videre og be elevene om selv å lage en slik figur. Det vil si at de kan lære seg å bruke et digitalt verktøy som GeoGebra (som jeg har brukt over). De får da også visualisert problemet på en ok måte. Det er også viktig at elevene klarer å visualiere ulike løsninger.

Se om du kan utforske og visualisere følgende:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter a, b, og c . Velg to nullpunkt a og b og la T være tangenten til f i x =(a+b)/2 (middelverdien til de to nullpunktene). Hva kan du si om denne tangenten?

Kan du vise at resultatet du (kanskje) oppdaget ovenfor alltid gjelder? En generell løsning på problemet finner du her. Denne er gjort med programmet Maxima.

Modellering

Modellering i denne sammenhengen dreier seg om å bruke digitale verktøy til å bearbeide, analysere og forenkle tallmateriale og sammenhenger fra situasjoner utenfor matematikken. Her er noen eksempler på spørsmål som går inn under en modelleringskompetanse:

  • Hvordan skal vi prise en vare?
  • Hvor sikker er en værmeldign?
  • Hvor dyrt er det å ringe med mobiltelefon?
  • Hvor lang tid vil en kule bruke på å trille ned et skråplan?

Alt det jeg har skrevet om så langt dreier seg om å bruke ulike verktøy til utforsking og simulering. Alt dette kan du gjøre uten å være online. Men det er en annen side ved den digitale ferdigheten som går på dette med å få tak i informasjon. Det handler om å finne fram til relevant informasjon på nettet som kan brukes videre i bearbeidelse og utforking eller modellering.

Her er et eksempel: Finn en modell for hvordan antall AIDS-tilfeller vil utvikle seg i Norge i de neste årene. Hvor skal du gå for å finne en slik informasjon? Hvordan skal du bearbeide tallmaterialet og hvilken modell vil passe?

Det å bare bruke pc uten noen didaktiske refleksjoner om hva dette er godt for, er etter min mening skummelt. Om de ulike digitale verktøyene blir brukt på en gal måte, så vil det kunne hemme læring. Dette er selvsagt ikke noe argument mot digitale verktøy i matematikkundervisningen. Bruker du tavla på en gal måte, så vil også det hemme læring. Poenget er at vi må tenke gjennom hvordan vi bruker de ulike verktøye og når vi skal bruke dem. Det er faktisk et viktig mål at elevene også skal gjøre dette. Vi vil at elevene skal bli metakognitivt bevisste!

Det som er viktig er at digitale verktøy ikke bare blir brukt til å finne ulike svar, men at elevene får jobbe godt med de ulike begrepene, lærer seg ulike strategier og får forståelse for matematikken.

Et siste poeng: Det er absolutt ikke noe garanti for at elevene vil få en god digital kompetanse i matematikk selv om læreverket ligger på en server. Når alt kommer til alt, så handler det ikke om hvilket læremiddel elevene bruker, men hvordan det jobbes med faget. Derfor er det i utgangspunkt ikke nødvendig å ha et digitalt læremiddel for å kunne oppfylle det lovpålagte kravet om digital kompetanse!

WolframAlpha og Google – Ja takk begge deler!

Dette er nå det tredje innlegget jeg skriver som har med WolframAlpha og gjøre og folk kan tro jeg er blitt helfrelst. Sannheten er at jeg er ganske fascienert av denne kunnskapssøkemotoren (som den blir kalt). Nå har det seg slik at jeg (og 44% av leserne av denne bloggen) bruker nettleseren Mozilla Firefox. Denne har nå fått et tillegg som du kan laste ned her. Med dette tillegget vil du få opp WolframAlpha sitt søkesvar i tillegg til Googles når du søker på Google.

image

Dersom du ikke vil se svara fra Wolfram, så er det bare å trykke på «Original» til oppe til høyre. Det er også lett å deaktivere tillegget. Nede til høyre er det en knapp som du klikker tillegget av og på:

image

tirsdag 9. juni 2009

WolframAlpha

Jeg blir mer og mer imponert over mulighetene i WolframAlpha. Jeg vil her gi noen flere eksempel på hvordan WolframAlpha løser oppgaver i matematikk.

La oss si at du vil løse likningen x2+x-2=10. Du skriver da inn solve | x^2+x-2 = 10 i WolframAlpha. Du vil da få svarene x=-4 og x=3. Dette er greit. Men har de lagt til en knapp der du kan se stegene i utregningene. Dette er alle – vel neste alle i hvert fall – matematikklæreres skrekk. Ikke nok med at programmet regner ut svaret for oss, men skal det også vise oss alle stegene i utregningen? Så klikker jeg på «Show steps» for å se hva som skjer. Og da blir jeg litt overrasket, for her er det ikke noe abc-formel som blir presentert. I stedet får vi følgende:

image

Det er da jeg tenker: Hvorfor ikke snu problemstillingen litt på hodet og be elevene forklare hva som skjer. Be dem trykke på knappen og forklar ideen som ligger bak. Se om du så klarer å gjøre noe tilsvarende med en annen oppgave (med papir og blyant).

Et eksempel til: I R2 har skal elevene jobbe med integrasjon ved substitusjon. Dersom de da får oppgave å integrere funksjonen sin(x)*cos(x), så kan de bruke WolframAlpha til å lage egne løsningsforslag dersom de sitter fast:

image

Her får vi forklaring på de ulike stegene. Ikke dumt dersom det brukes på en fornuftig måte.

Her er en liten oppgave til deg: Forklar hva som skjer her:

Skriv inn  solve | x^3+3 x = –4 og klikk på «Show steps». Se om du klarer å finne ut av ideen som ligger bak løsningsmetoden og se om du kan løse likningen x^3+3x=4 (uten å bruke digitalt verktøy). En aktuell problemstilling for matematikk X.


mandag 8. juni 2009

Digital vurdering i Kunnskapsløftet

Hordaland fylkeskommune har invitert ekoordiantorene til samling på Voss. Første foredrag av Unni Walle med elevene Kristina Egeberg og Malin A. Mate. Foredraget hadde temaet «Digital vurdering i Kunnskapsløftet».

Walle gav oss en gjennomgang av forskriftene for vurdering til opplæringsloven. «Elevene har rett til vurdering med og uten karakter». Retten til vurdering innebærer både en rett til underveisvurdering og til vurdering uten karakter. Det skal være kjent for eleven hva som er måla for opplæringen og hva som blir vektlagt i vurderingen av elevens kompetanse. Formålet med vurdering i fag er å fremme læring underveis og uttrukke kompetanse til eleven underveis og ved avslutning av opplæringen. Det er kompetansemålene som skal vuderes og ikke noe annet. Nytt er at elevene også skal då vurdering i forhold til elevens utvikling i faget. – har eleven fått økt kompetanse? I den nye versjonen av forskriften står det også at eleven skal delta aktivt i opplæringen slik at læreren får grunnlag for å vurdere eleven. Elevens insats skal vurderes i orden og aterd.

Underveisvurdering skal brukes som redskap i læreprosessen. Den skal være et grunnlag for tilpasset opplæring. Den kan gis både skriftlig og muntlig, men det ble presisert at den må dokumenteres. Det ble videre poengtert at tilbakemeldingen til elevene må være slik at eleven forstår den og at den forteller noe om hvordan eleven kan bli bedre. «Dette var bra» er ikke god nok tilbakemelding for en elev som vil gå fra en firer til en femmer. Eleven skal også gi en egenvurdering.

Terminkarakterer skal erstattes av halvårsvurdering. Denne skal fungere slik at først skal eleven få en vurdering uten karakter; hva er eleven god på, hva må eleven jobbe mer med. Så skal karakteren gis. Dette er noe jeg alltid har gjort. Før hver teriminkarakter/årskarakter settes har jeg alltid ha en samtale med elevene. Men nå må jeg i tillegg dokumentere at dette er blitt gjort. Det er rektor som har ansvar for at dette blir gjennomført.

Lærerenen har en plikt (så langt råd er) til å sørge for at elevene får tilstrekkelig vurderingsgrunnlag. Hva dette betyr i praksis er ikke godt å vite. Men nå har altså også elevene plikt til delta aktivt i opplæringen.

Kompetansebegrepet

I kunnskapsløftet blir kompetanse definert definert som «hva man gjør og får til i møte med utfordringene.» Kompetanse er satt sammen av mange ferdigheter. I foredraget blir følgende ferdigheter trukket fram:

  • Faglig kunnskaper
  • Faglig metode
  • Faglig refleksjon og drøfting

Dette passer sikert for en del fag, men jeg synes ikke dette er god inndeling for matematikk. Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen inndeler i ferdigheter, forståelse og anvendelse.

I en kriteriebassert vurdering må oppgaver lages slik at de tester på tre nivåer; Lav, middels og høy måloppnåelse. På Arendal videregående skol har de brøtet ned kompetansemålene i mindre delmål.

  • Kompetansemål
  • Vurderingskriterer
  • Læringsmål
  • Underveisvurdering
  • Sluttvurdering

Alt dette bør – i følge Walle – være ferdig før skolestart. Det vil bli utarbeidet vurderingskriterier for en del fag sentralt.

Walle og eleven viste også eksempler fra egen praksis (Fag: rettslære). For 30 elever bruker Walle ca 30 minutter. Da har hun en del standard formuleringer som hun limer inn i læringsplattformen (Fronter).

Muligens at Walle klarer dette, men jeg ser at dette kan bli problematisk for mange lærere – meg inkludert. Vurdering blir et mål i seg selv og jeg vil bruke tid på dokumentering i sted for å jobbe med elevene. Faglige samtaler er best. Jeg er lærer fordi jeg liker interaksjonen med elevene i klasserommet. Jeg synes det er gøy å tenke ut eller finne gode oppgaver og undervisningsopplegg, og blir litt frustrert over hele paragrafhysteriet (som det er)!

søndag 7. juni 2009

Muntlig eksamen og kompetansemål

Det har vært en god diskusjon via twitter om muntlig eksamen. Her vil jeg kommer med et lite innlegg på mer enn 140 tegn om dette.

Problemstillingen er som følger: skal oppgavene som faglærer lager dekke alle kompetansemål i læreplanen? Det er mange som mener dette, men jeg mener dette ikke kan være riktig. Jeg mener at en muntlig eksamen tester andre ting enn en skriftig. Med det mener jeg ikke andre tema, men at det er en annen side ved kompetansemåla som blir målt. Dersom vi tar for oss et typisk kompetansemål i matematikk (bombe), så består det av et verb og en innholdsbit. La oss ta kompetansemål fra Matematikk 1T. I læreplanen står det at eleven skal kunne

  • bruke geometri i planet til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem knytte til lengder, vinklar og areal

Innholdskomponenten her er geometriske begreper som lengder, vinkler og areal. Forskjellen fra forrige læreplan er klar: Nå er det ikke bare at de skal ha jobbet med disse begrepene, men det er en mer presis beskrivelse av hva de skal kunne med disse. De skal kunne

  1. bruke
  2. analysere og
  3. løse

Det er i disse verbene at de grunnleggende ferdighetene skal være integrert i kompetansemåla. Vi kan derfor ikke tolke kulepunkta i læreplanen løsrevet fra formål og grunnleggende ferdigheter. Ser vi på det andre verbet ovenfor (analysere), så finner vi en presisering av dette:

Å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber òg å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og løysingsstrategiar med andre.

Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle språket i faget.

Disse to grunnleggende ferdighetene er ganske like. Faktisk så like at læreplangruppen prøvde å få dem slått sammen til en (slik det er for R1). Men det er likevel forskjeller. På en muntlig eksamen vil eleven kunne vise at hun kan være med i samtaler om matematisike tema. Dette lar seg vanskelig gjøre på en skrifrlig eksamen. Det er også lettere å få testet elevenes problemløsningsstrategier på en muntlig eksamen. «Jeg kunne også ha gjort…., men da….».

Jeg kan godt være med på at det er mulig å lage oppgavesett der alle kulepunktene blir berørt, men da blir det bare det – en berøring. Det blir lite dybde og kun testing av overfladisk kunnskap.

I Hordaland fylkeskommune har vi fått egne retningslinjer for lokalgitte eksamener, deriblant munlig eksamen. Du finner dokumentet her. Der står det blant annet:

Eleven trekkjer tema, og faglærar må sørgje for at eleven kan trekkje blant tema som til saman dekker kompetansemåla, og som gjer det mogeleg for eleven å få vist både brei kompetanse og evne til å fordjupe seg i eit stoff eller eit fagleg område.

Jeg finner dette litt problematisk. Hva menes med «dekker kompetansemåla.» Kan noen forklare meg det? At temaene dekker kompetansemåla kan muligens bety at alle tema som ligger i læreplanen blir dekket? Hvor mange tema finner du for eksempel her (1T):

  • gjere greie for funksjonsomgrepet og teikne grafar ved å analysere funksjonsomgrepet
  • berekne nullpunkt, skjeringspunkt og gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gje nokre praktiske tolkingar av desse aspekta
  • gjere greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utleie ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar og bruke denne regelen til å drøfte funksjonar
  • lage og tolke funksjonar som beskriv praktiske problemstillingar, analysere empiriske funksjonar og finne uttrykk for ein tilnærma lineær funksjon
  • bruke digitale hjelpemiddel til å drøfte polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Er det ett tema (funksjoner)? Eller kanskje to (funksjonsbegrepet og funksjonsdrøftning) eller er det 11 (funksjonsbegrepet, nullpunkt, skjeringspunkt, vekrfart, derivasjon, funksjonsdrøfting, modellering, poynomfunksjoner, rasjonalefunksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner)?

Dette blir litt tøvete, for nå er fokuset flyttet over på teknialiteter og vi er milevis vekke fra formålet med faget!

[…] Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. […]

Det store viktige spørsmålet blir derfor: hva vil vi med eksamen? Hvorfor har vi muntlig eksamen? Hva er forskjellen på en muntlig eksamen versus en skriftlig? Hvilken kompetanse vil vi teste? Hva er vi ute etter?

Her er kriteriene jeg satte opp til muntlig eksamen i Matematikk X:

I vurderingen vil vi vektlegge i hvor stor grad du kan:
– gjennomføre og forklare beregninger med sikkerhet i metodevalg og utøvelse
– gjengi, analysere og utnytte egenskaper ved begrepene
– vise selvstendighet og kreativitet i valg av strategier og metoder som er hensiktsmessige
– gjøre rede for egne resonnementer og forstå andre sine resonnementer
– gjøre antakelser, stille spørsmål og vurdere rimelighet av svar
– bruke og kunne veksle mellom ulike representasjoner og matematiske symboler i en samtale

lørdag 6. juni 2009

Muntlig eksamen i matematikk X

I dag hadde jeg en elev oppe til eksamen i matematikk X. – Skulle ønske det var flere, for dette er virkelig et artig fag. Temaene som det blir jobbet med i dette faget er komplekse tall, tallteori og sannsynlighet og statistikk. På vår skole var det en god del elever som ville ha dette faget, men ikke nok til at det faktisk ble satt igang. Likevel var det noen elever som ville ta det som privatist. En av disse var altså oppe til eksamen i dag.

Jeg ser at det er mange av leserne av denne bloggen finner veien via søk på google. Et vanlig søk er «muntlig eksamen matematikk». Jeg har tidligere skrevet kort om mine erfaringer som sensor på HSH og vil her dele litt av hvordan jeg la opp eksamen i matematikk X.

Etter retningslinjene vi har i Hordaland, så var det satt av tid til forberedelser. I denne tiden fikk kandidaten ulevert oppgaver som han skulle forberede til selve eksaminasjonen. Disse har jeg lagt inn under:

Første halvdel av eksaminasjonen gikk altså med til presentasjon av prosjekt knyttet til komplekse tall. Andre halvdel dreide seg om tallteori.

Siden dette er første gang jeg er eksaminator på matematikk X, så var jeg litt usikker på hvor jeg skulle legge lista. Hvor mye kan vi kreve av en elev i vg2 av argumentasjon og forklaringer? Jeg har tidligere undervist i tallteori på høyskole og universitet, og det sier seg selv at vi ikke kan forvente det samme av en elev på vg 2 som på høyere utdanning.

I tallteorien har jeg laget tre oppgaver av ulik vanskelighetsgrad. Av alle disse oppgavene mener jeg at oppgave 1 c) og 2 c) er de mest krevende. Her er det ikke bare utregninger eller reproduksjon av ting som står i læreboka, men stiller krav til formalisme og kreativitet.

Oppgavene over er ganske lukkede og jeg må innrømme at jeg sliter med å få til gode åpne oppgaver. Selv synes jeg oppgave 1 b) er litt artig. Her er det en viss progresjon i vanskelighetsgrad.

Oppgave 2 c) er også artig og litt triksete. Her må du faktorisere n2-2n=n(n-2). Siden du vet at n er et partall, så ser vi her at vi har to påfølgende partall. Et av disse må faktisk også være delelig med 4 siden annen hvert partall er det. Altså har den ene faktoren 4 som en divisor og den andre 2. Til sammen har de altså 2x4=8 som faktor.

Totalt sett vil jeg si at settet fungerte bra, men jeg ville likt om andre lærere som har matematikk X kunne komme med kommentarer.

fredag 5. juni 2009

Eksamen 2009

Writing Exams, av ccarlstead på Flickr, CC-by lisen.I dag har vi siste skriftlige eksamensdag i videregående skole. I år har vi hatt tre uker med eksamener hver dag på vår skole, og det har vært veldig frustrerende. Selv om elevene har rett på timetallet som læreplanen spesifiserer i de ulike fag, så har dette vært veldig vanskelig å få til i år, siden vi har vært nødt til å sitte vakt en del dager og siden det ikke har vært ledige klasserom. Dette er nytt av året, siden privatistene i år har eksamen sammen med elevene på videregående. Derfor måtte eksamensperioden strekke seg over tre uker, siden vi da ikke kunne ha mange fag på en og samme dag.

Min oppfordring er derfor å få dette endret tilbake til slik det var før. Skill privatister fra elever under eksamen! På twitter har jeg sendt meldingen «@Udir Skill privatister fra elever, nei til tre-ukers kaos nest år! #Eksamen2010». Dersom du er enig i dette, så er oppfordringen her gitt videre til deg!

GeoGebra 3.2 endelig lansert

Endelig er versjon 3.2 av GeoGebra offisielt ferdigutviklet. Jeg har nå brukt Pre-Release-versjonen i et halvt år, så denne var etterlengtet. Viktigste nyheter i den nye versjonen er regneark og flere kommandoer, deriblant regresjon. Du finner mer informasjon om versjon 3.2 i GeoGebra 3.2 Release Notes.

onsdag 3. juni 2009

Kjennetegn på måloppnåelse i Matematikk S2

Har laget et forsøk på  å beskrive kjennetegn til måloppnåelse i Matematikk S2:

Har tidligere også gjort et forsøk på å beskrive kjennetegn på måloppnåelse i R1:

Synspunkter og kommentarer mottas som vanlig med glede!

tirsdag 2. juni 2009

Muntlig eksamen i matematikk

Forrige uke var jeg sensor i Matematikk 1 på Høgskolen Stord/Haugesund. Det var 44 kandidater fordelt på fire dager, så du kan tenke deg at jeg var glad når alle var ferdige!

I dette innlegget tenkte jeg at jeg ville dele noen av de erfaringene jeg gjorde på HSH. Dette kan også være relevant for muntlig eksamen i videregående skole. Studentene fikk 30 minutters forberedelsestid og selve eksaminasjonen varte i ca 30 minutt. Til forberedelsesdelen fikk de med seg to oppgaver som var ganske åpne. Det vil si at de var laget slik at alle skulle kunne få mulighet til å vise kompetansen sin på disse oppgavene. Første del av eksamen var satt av til presentajon av det studentene hadde funnet ut av oppgaven. Så fortsatt samtalen videre rundt oppgavene.

Nedenfor har jeg tatt med et eksempel på en slik oppgave. Legg merke til at det ikke erformulert noen spørsmål i oppgaven. Det er det studentene selv som skal gjøre. En viktig side ved matematisk kompetanse er jo nettopp dette å kunne stille spørsmål.

Oppgave

Trekant ABC er innskrevet i en halvsirkel med sentrum S. Radien til sirkelen er r. Punktene D og E er midtpunkt på hhv. AC og CB og vinkel BAC er 60o. Gjør greie for geometriske sammenhenger ut fra denne figuren og de opplysningene du har fått.

Stikkord kan være: Konstruksjon, formlikhet, lengder og vinkler, areal, geometriske steder og setninger.

image

Det er ganske mye å ta tak i her. Hvor stor er vinkel C? Hva sier Thales setning? Hva med vinkel B? Hvorfor er summen av vinklene i en trekant 180 grader? Hvor stor er vinkel BSC? Er det noen trekanter som er formlike? Hvordan kan vi konstruere en slik figur? Dersom SB=2 cm, hvor lange er de andre sidene da? Hva om SB= r (generelt)? Hva er forholdet mellom arealet til trekant ABC og trekant CDE? Hvorfor? Hvor lang er AE?

Denne oppgaven kan etter min mening også passe til muntlig eksamen i R1 innenfor emnet geometri. Her er det mye å ta tak i, og alle skal kunne få til noe. Så kan eventuelt eksaminator stille litt mer ledende spørsmål dersom studenten/eleven ikke kommer videre.