Pages

lørdag 6. juni 2009

Muntlig eksamen i matematikk X

I dag hadde jeg en elev oppe til eksamen i matematikk X. – Skulle ønske det var flere, for dette er virkelig et artig fag. Temaene som det blir jobbet med i dette faget er komplekse tall, tallteori og sannsynlighet og statistikk. På vår skole var det en god del elever som ville ha dette faget, men ikke nok til at det faktisk ble satt igang. Likevel var det noen elever som ville ta det som privatist. En av disse var altså oppe til eksamen i dag.

Jeg ser at det er mange av leserne av denne bloggen finner veien via søk på google. Et vanlig søk er «muntlig eksamen matematikk». Jeg har tidligere skrevet kort om mine erfaringer som sensor på HSH og vil her dele litt av hvordan jeg la opp eksamen i matematikk X.

Etter retningslinjene vi har i Hordaland, så var det satt av tid til forberedelser. I denne tiden fikk kandidaten ulevert oppgaver som han skulle forberede til selve eksaminasjonen. Disse har jeg lagt inn under:

Første halvdel av eksaminasjonen gikk altså med til presentasjon av prosjekt knyttet til komplekse tall. Andre halvdel dreide seg om tallteori.

Siden dette er første gang jeg er eksaminator på matematikk X, så var jeg litt usikker på hvor jeg skulle legge lista. Hvor mye kan vi kreve av en elev i vg2 av argumentasjon og forklaringer? Jeg har tidligere undervist i tallteori på høyskole og universitet, og det sier seg selv at vi ikke kan forvente det samme av en elev på vg 2 som på høyere utdanning.

I tallteorien har jeg laget tre oppgaver av ulik vanskelighetsgrad. Av alle disse oppgavene mener jeg at oppgave 1 c) og 2 c) er de mest krevende. Her er det ikke bare utregninger eller reproduksjon av ting som står i læreboka, men stiller krav til formalisme og kreativitet.

Oppgavene over er ganske lukkede og jeg må innrømme at jeg sliter med å få til gode åpne oppgaver. Selv synes jeg oppgave 1 b) er litt artig. Her er det en viss progresjon i vanskelighetsgrad.

Oppgave 2 c) er også artig og litt triksete. Her må du faktorisere n2-2n=n(n-2). Siden du vet at n er et partall, så ser vi her at vi har to påfølgende partall. Et av disse må faktisk også være delelig med 4 siden annen hvert partall er det. Altså har den ene faktoren 4 som en divisor og den andre 2. Til sammen har de altså 2x4=8 som faktor.

Totalt sett vil jeg si at settet fungerte bra, men jeg ville likt om andre lærere som har matematikk X kunne komme med kommentarer.

32 kommentarer:

  1. Matematikk X er virkelig moro, både for elever og lærer. Jeg hadde 7 elever i fjor og 16 i år. Et lignende antall venter til neste år. Neste år må det bli muntlig heldagsprøve, uansett antall.

    Til eksamen i fjor fikk de 30 minutters forberedelse i et kompetansemål og spørsmål fra et annet hovedområde. I år blir eksamensformen 48 timers forberedelse, med et oppgitt emne. Kanskje med en figur eller lignende.

    Det jeg har opplevd som vanskeligst, er å lage gode prosjektoppgaver. Forlagene gir ikke mange eksempler, og jeg er ikke god til å tilpasse vanskelighetsgraden. Jeg kan legge ut noen eksempler, men til neste år skal nrich.maths.org tråles etter gode, åpne oppgaver.

    Til selve settet ditt: Fikk eleven dette ut 48 timer før? Var det noe tid til "ikke varslede" spørsmål?

    Og, siden jeg (frem til nå) har følt meg veldig alene med faget, det jeg egentlig lurer mest på: hvilken selvvalgt oppgave hadde eleven?

    SvarSlett
  2. Eleven startet med å se på hva i^i er for noe. Dette ledet så videre til å se hva log z er, når z er et komplekst tall. Her kom han inn på dette med ulike grenkutt av logaritmefunksjonen.

    Før eksamen fikk eleven utlevert et ark med oppgaver som kunne være relevante. Disse ligger her. Kanskje et lite hefte jeg en gang har laget også kan være av interesse? Dette ligger her.

    Jeg har, som nevnt, ikke undervist i faget dette året. Hadde jeg gjort det ville jeg trolig ha lagt opp ting litt annerledes.

    SvarSlett
  3. Du berre måtte leggja ut dette ja...

    Eg må seia det var ein ganske grei eksamen, sjølv om eg fekk det eg helst ikkje ville ha; talteori. Hadde vore fint å lagt fram prosjektet i talteori (miste felles multiplum), men å få oppgåver...

    Stort sett er eg nøgd med eksamenen, slapp heldigvis å fullføre veddemålet eg hadde med dei andre som opna matematikk X boka. Personleg syns førebuingstida var grei, men kanskje eg kunne vore på eit litt meir avsidesliggande rom då det var litt støy på gongen under slutten av førebuingstida.

    Sjølve skulle eg særs gjerne sett at faget vart undervist i på skulen, men 4-5 elevar var vell for få til å ha undervisning i det.

    Som kandidat syns eg eksamen kanskje testa litt snevert i pensum, men samstundes har ein ikkje tid til altfor mykje heller. Kanskje somme av oppgåvene og blei for like?

    Skulle gjerne vist (meir) kompetanse i følgjande emne: komplekse tal (likningar),
    talteori (kongruens likningar) og
    statistikk og sannsyn (eigentleg alt).

    Til slutt vil eg berre takke for all hjelp du har gitt meg undervegs i studiet! Du har vore til støtte, og forklart betre enn det boka har klart i dei fleste høve. Så nok ein gong, ein stor TAKK!

    SvarSlett
  4. Hei! : )  Beklager for lengden på denne kommentaren, men håper du likevel tar deg tid til å lese gjennom! Det er forøvrig en øvre grense på 4096 tegn per kommentar, så måtte dele den opp i to.

    Fant dette innlegget i sommer da jeg googlet rundt etter stoff om Matematikk X. Var nyskjerrig på faget, og jeg har nå bestemt meg for å gå opp i faget til våren. Det har dog dukket opp en del spørsmål om selve eksamenen, og jeg håper jeg kanskje kan få svar på de her! : ) (Faget tilbys så vidt jeg vet ikke i Hedmark i det hele tatt, og får derfor svært lite informasjon gjennom skolen. Da jeg snakket med rådgiveren måtte jeg først overbevise han om at faget i det hele tatt eksisterte!)

    Dette blogginnlegget har allerede vært til uvurderlig hjelp som informasjonskilde til hvordan en eksamen i Matematikk X kan gjennomføres, men selv etter å ha lest dette sitter det en liten haug store spørsmålstegn oppe i hodet mitt! 

    For det første: Lærerplanen(http://bit.ly/7XQlsT) er nesten farlig vagt formulert på enkelte punkter, og jeg er usikker på hvor mye jeg skal legge i de:

    Ting å gjøre rede for: 
    "gjøre rede for praktiske anvendelser av kongruensregning i kryptering og feilrettingskoder"
    "gjøre rede for og presentere hovedtrekk i de komplekse tallenes historie fra renessansen til Caspar Wessel"
     - Begge deler er godt forklart i Cappelen sin lærebok (Sinus Matematikk X), men denne typen kompetansemål har til nå vært ukjent for meg på læreplanene i matematikkfagene, er det sannsynlig å bli hørt i dette på en privatisteksamen? (Altså, sensor kan jo tross alt ikke sitte med noen form for "fasit," da jeg ikke har vært bundet til et spesielt læreverk eller en spesiell vinkling.) Er veldig usikker på hvor nøye og hvordan disse kompetansemålene skal angripes! Hvis jeg (mot formodning) skulle bli testet i dette til eksamen, og sensor er uenig i min definisjon av "hovedtrekkene" i komplekse talls historie, hvordan står jeg da stillt i forhold til å kunne argumentere for mitt utvalg? (som, hvis tilfelle, vil basere seg på læreboken sitt - men som av samme grunn som før ikke kan ses som noen "fasit")

    Presentere selvvalgte temaer:
    "planlegge, utføre og presentere et selvstendig utforskende arbeid i et emne tilknyttet hovedområdet" (Tallteori)
    "gjøre rede for og presentere et selvvalgt emne knyttet til anvendelse av komplekse tall"
    "planlegge, utføre og presentere en oppgave knyttet til statistiske anvendelser av sannsynlighetsregning i hypotesetesting eller utvalgsundersøkelser"
     - Her er jeg, igjen, uhyre usikker på hvordan kompetansemålene skal angripes. Skjønner jo at de ikke kan være super-konkrete i en lærerplan, men synes det er vanskelig når det ikke finnes noen form for retningslinjer eller informasjon på udir sine sider (og internett generelt forsåvidt), eller tilgjengelig gjennom skolen. Hvordan løste du dette ved din eksamen i fjor (og evt. ved undervisning, hvis du har hatt det i år!)? (Spesielt: Hvor omfattende skal det være? Hva kan\bør det handle om? Hvor langt fra det opprinnelige temaet skal man bevege seg?)

    SvarSlett
  5. I ren desperasjon har jeg lekt meg litt rundt med komplekse tall, og påbegynt et lite prosjekt hvor jeg går for å bevise Eulers formel, for så å utrede http://bit.ly/7mV2Y0 fra sin(x), før jeg finner noen praktiske bruksområder for det! (Fikk idéen da jeg så den alternative formen på Wolfram for noen uker siden, og er snart i mål med beviset) Høres dette ut som om det er omfattende nok og dekkende for kompetansemålet?

    Tidsbruk:
    Jeg lurer også på hvor mye tid eleven fikk til å forberede seg på etter at de fikk vite oppgavene til den eksamenen du har lagt ut her. Var det en eksamen av den typen hvor man får oppgaver, har X antall minutter på seg til forberedelser før man legger frem det man har, var det snakk om forberedelsestid i dager, eller var det ingen i det hele tatt? (Antar det første ut i fra kommentaren over, men bare for å få det bekreftet!)

    Og generelt om muntlige matematikk-eksamner: (Har aldri kommet opp i muntlig matematikk før! o_0)
    Hvordan foregår en typisk muntlig matematikk-eksamen? Er det vanlig å fleske opp med pc + prosjektor, evt. andre forhåndslagde oversikter, eller er det bare å stå rett opp og ned og snakke? Evt. bruke tavla? Dette kunne jeg nok ha spurt om på skolen også, men prøver å unngå å fortelle lærerene om at jeg tar opp Matematikk X av grunner jeg ikke skal legge ut om her, så tenkte jeg kunne slenge det inn her! 

    Til slutt: Jeg er klar over at eksamen utformes lokalt og at du ikke kan si ting 100% sikkert, men jeg er ute etter dine personlige tanker og meninger, og alt du sier vil uansett være til stor hjelp i eksamensforberedelsene! : D Vil også få påpeke hvor utrolig supert det er at folk som deg og Erik Boge tar dere tid til å skrive om fag i skolen på internett! Det hjelper utrolig mye, spesielt for meg som privatist! : )

    SvarSlett
  6. Takk for innlegg! Du kommer med mange gode, viktige og vanskelige spørsmål.
    Når det gjelder komplekse talls historie, så kan du trygt holde deg til Cappelens tolkning. Skulle sensor være uenig, så må du få vite dette før eksamen. Det samme gjelder kongruensregning. Hva du blir hørt i på eksamen er ikke lett å si. Her er det i prinsippet ikke forskjell på privatister og andre.

    Når det gjelder presentasjon av tema, så synes jeg du er inne på noe når det gjelder komplekse tall. Når det gjelder tallteori, så finner du eksempler bak i oppgavesamlingen til Aschehaugs verk. Hva med å studere SFF til Fibonaccitallene? Hva er SFF(F_6, F_4)? Hva med SFF(F_10, F_20)=? Kan du finne SFF(F_100, F_300)? (Muligens litt vanskelig oppgave, men...)

    Jeg synes du er inne på noe i prosjektbeskrivelsen din (Eulers formel). Det som er viktig å jobbe med her er å få avklart hva som bevises og hva som defineres. Hva er egentlig sin(x) når x er et komplekst tall? Formelen du refererer til er egentlig en definisjonssak. På samme måte som vi definerer at et tall opphøyd i null er 1, så definerer vi sin(x) ut fra formelen du refererer til. Men vi kan gi motivasjon for definisjonen og vi kan vise at den faller sammen med tidligere definisjoner (når x er et reelt tall). Dette er et fint prosjekt synes jeg. Kan du så finne eksempler der dette blir brukt, så vil ingen kunne si noe som helts på dette! Eksemplene trenger ikke etter min mening å være fra andre fag.

    Når det gjelder tidsbruk, så er dette ulikt fra fylke til fylke. Ta dette opp med eksamenskontoret. Det samme gjelder dette med hjelpemidler. Det er vanlig at alle ikke-komuniserbare hjelpermidler er tillatt, men dette kan det som sagt være egne regler for i ditt fylke.

    Lykke til med arbeidet!

    SvarSlett
  7. Jeg har planer om å ta matte-x som privatist i år, men kan ikke finne faget når jeg søker etter det på privatistweb.no. Vet du om det ikke er mulig å ta faget som privatist i år, eller er det bare jeg som er utrolig dårlig til å lete?

    SvarSlett
  8. Det skal være mulig å ta eksamen i år. Snakk med eksamenskontoret der du bor. Mer kan jeg dessverre ikke si...

    SvarSlett
  9. Jeg skal ta faget i år og er melt på gjennom privatistweb, faget er der.

    SvarSlett
  10. Har en elev som ønsker å ta Matematikk X som privatist. Kjenner du til om det er vanlig at de må skrive prosjektoppgave? Blir det visst til den på muntlig eksamen? Vi tilbyr ikke faget selv, derfor noe usikker.

    SvarSlett
  11. Jeg kjenner ikke til hva som er praksis sånn generelt, men læreplanen sier eksplisitt at de skal kunne planlegge, utøfre og presentere et selvstendig utforskende arbeid i et emne knyttet til hovedområdet komplekse tall. Dette er litt annerledes formulert enn for de to andre hovedområdene. Jeg mener en rimelig praksis er at de gjør et slikt arbeid for dette hovedområdet, men at de for de to andre hovedområdene ikke trenger å ha et så omfattende arbeid. Jfr slik som Aschehaugs bok legger opp til, men litt større oppgaver i slutten av oppgavesamlingen. Jeg mener det er bra om elevene forbereder en presentasjon av to slike oppgaver til muntlig, en for hvert hovedområde.

    På muntlig eksamen må elevene (slik jeg gjør det) være beredt til å legge fram ett av disse arbeidene. Jeg har gode erfaring med å gjennomføre muntlig eksamen på denne måten og mener dette gir elevene gode muligheter til å kunne vise sin kompetanse.

    SvarSlett
  12. Hei,

    Noen her inne som vet om man kan velge Matemaikk X på vg3? Angrer veldig på at jeg ikke valgte det for vg2.

    SvarSlett
  13. Mener at dette ikke er noe problem forutsatt at du oppfyller resten kravene om timetall innenfor studieprogram og at skolen tilbyr Matematikk X og at det passer på timeplanen i forhold til andre fag du tar.

    SvarSlett
  14. Takk for svar. Kan ikke gjøre annet enn å håpe, ettersom de tilbydde det i vg2.

    SvarSlett
  15. Hei, jeg skal opp til eksamen i x-matte til våren og lurte på om du viste om noen sider som hadde noen eksempler på eksamens oppgaver, har sett litt rundt men har bare funnet din.

    SvarSlett
  16. Hei Martin! Må dessverre si at jeg ikke kjenner til noen slike sider.

    SvarSlett
  17. Hei!

    Vet ikke helt hvor jeg skal skrive, men velger å skrive det her. Jeg vurderer sterkt å ta Fysikk 2 i vg3-har fysikk 1 nå. Foreløpig er jeg litt usikker, fordi vanskelighetsgraden og arbeidsmengden kanskje blir for stor. Jeg ligger mellom 5-6 i fysikk 1, men jobber veldig mye. Håper du kan si litt om fysikk 2 når det kommer til arbeidsmengde og vanskelighetsgrad sett i forhold til fysikk 1?

    SvarSlett
  18. Fysikk 2 er et kjempekjekt fag og ut fra det du sier om karakternivå i Fysikk 1, så burde ikke Fysikk 2 bli uoverkommelig. Forskjellen mellom disse to fagene er at du i Fysikk 2 trenger bruker mer matematikk for å løse de ulike oppgavene. Har du god kontroll på matematikkene (og fortsetter med R2), så vil du med en god del jobbing klare deg bra i Fysikk 2. Det er et krevende fag, men ikke umenneskelig.

    SvarSlett
  19. Ja, ingen tvil om at jeg skal fortsette med R2. Ligger forøvrig på det samme i R1 som i fyikken, hvis det hjelper til å vurdere min forutsetninger til å velge fys2. Går ut i fra at du har noen erfaringer når det kommer til arbeidsmenhden i fysikk 1 i forhold til fysikk 2?

    Takk igjen!

    SvarSlett
  20. Du må nok belage deg på at det er større arbeidsmengde i Fysikk 2 enne Fysikk 1. Men det kommer som sagt an på hvpr lett du tar det med hensyn til arbeidet med oppgavene.

    Men en ting kan jeg si: det er et kjempe kjekt fag som du vil like å jobbe med dersom du liker fysikk og matematikk!

    SvarSlett
  21. Hei! Takk for nyttig side! Jeg har et lite spørsmål til et par av oppgavene. Hvordan forklarer du egentlig de to siste oppgavene i 1b)? syns det er utfordrende å forklare delelighet. På forhånd takk!

    SvarSlett
  22. Se om du eventuelt klarer å lage et moteksempel. Hva om a=2 og b=3...

    SvarSlett
  23. Tusen takk! Det var egentlig det jeg lurte på. Altså om det var argumentasjon nok å vise at for de aller fleste verdier av a og b så vil ikke påstanden stemme.

    SvarSlett
  24. Hei! Har matematikk x i år og per dags dato skriver vi en oppgave om komplekse tall. I oppgaven skal vi skrive om hva komplekse tall brukes til. Lurer i den forbindelse på om du vet noe om dette?

    SvarSlett
  25. Mange tenker nok på anvendelser i andre fag slik som i elektrisitetslære. Men kanskje det kan være en ide å ikke begrense anvendelsene til utenomfaglige eksempler men også inkludere eksempler fra matematikken der komplekse tall blir brukt. Et godt eksempel på dette er algebraens fundamentalsats.

    I R2 brukes også komplekse tall når vi løser differensiallikninger. Dette finner du i R2-boka.

    Et annet eksempel er å bruke komplekse tall og De Moivres formel til å finne reelle integraler.

    Det er f.eks. mulig å vise at
    interalet fra 0 til pi til sin(x)^(2x) med hensyn på x er pi*(2n)!/(2^(2n)*(2!)^2)) der n=0, 1, 2,...

    Lykke til med oppgaven!

    SvarSlett
  26. God dag.

    Jeg planlegger å ta X-matte som privatist, og har nettopp lest meg gjennom det første kapittelet.

    Jeg lurer simpelthen på om jeg har forstått oppgave 1:

    a) om et helt tall a kan deles på et helt tall b, betyr det at b er en divisor av a, ettersom b kan ganges med det hele tallet c og få a. Det betyr også at a er et sammensatt tall, ettersom b og c videre kan faktoriseres til de blir primtall, ettersom b og c er hele tall fra før av.

    b)
    i) sant, ettersom 9/3 = 3
    ii) sant, ettersom a/1 = a
    iii) sant, ettersom a^2+2a = a(a+2), altså kan man stryke a mot a

    iv) usant, dette henger sammen med beviset om at det finnes uendelig mange primtall. Om man legger til 1 på et produkt av primtall, vil ikke dette nye tallet (n + 1) kunne deles på noen av tallene man har ganget sammen for å få det. For eksempel: 3|3*4+1 går ikke. Om man skal få det til å gå opp må man plusse på et multiplum av 3, og ikke 1.

    v) både og. Dette vil være usant i alle tilfeller bortsett fra ett, og det er om a=0.

    vi) Samme som i oppgave v). Om a=0 får man b|b, som stemmer.

    c) 8|n^2-2n når n er partall fordi:
    8|n(n-2)
    n=2x
    8|2x(2x-2)
    8|4x^2-4x
    8|4x(x-1)
    om x=partall vil man doble tallet 4 x antall ganger, og det vil alltid kunne deles på åtte.

    om x=oddetall vil x-1=partall. Partallet x-1 = 2y
    8|4*x*2*y
    8|8xy

    Spørsmål:
    Er løsningene mine korrekte?
    Får man noen betenkningstid på slike oppgaver? (blir de delt ut noe før eksamen begynner?)
    Kan jeg svare både og på en sant/usant-oppgave?

    Tusen takk for svar!

    SvarSlett
    Svar
    1. Du har tenkt rett. Mange påstander kan være sanne undervisse betingelser (for eksempel a er null). Selvsagt får du betenknigstid! (Beklager sent svar)

      Slett
  27. Jeg går nå på ssp i vg1, men gjennomfører R1 matten( tok 1T matten ifjor) og vurderer egentlig å ta både mattematikk x og Fysikk 1 til sommeren 2013. Føler jeg har gode forutsetninger for realfag, fikk 6-er i 1T matten og 6-er i naturfag på ungdomsskolen. Kan du "ut i fra dette" si noe om hvor vanskelig Fysikk1 og Matematikk x er?

    SvarSlett
    Svar
    1. Det høres ut som at begge kursene vil gå bra for deg! Det er litt mer regning i Fysikk 1, men det må vel gå bra for deg! Matematikk X er et veldig kjekt kurs!

      Slett
  28. Sorry, jeg som skrev den forrige kommentaren mente å si at jeg vurder å ta Fysikk 1, Matematikk x dette året, altså som privatist (og dermed avlegge eksamen til sommeren 2013). Var det dette du trodde jeg mente? Hvis ikke, hva synes du om DENNE planen?

    SvarSlett
  29. Jeg skjønte deg rett! Dette kan være en god plan. Men husk at det er viktigere at du får lært hvert fag skikkelig og at du også får tid til å kose deg med faget. Kanskje det er nok å ta Matematikk X i år og så spare Fysikk 1 til neste år?

    Så: hvis du er motivert til å jobbe på, så høres dette ut som en god plan. Ønsker deg lykke til. Dette kommer helt sikkert til å gå bra!

    SvarSlett

Kommentarer