Pages

lørdag 29. januar 2011

Hva var nå vannstanden på julaften?

Her om dagen jobbet vi med det som læreboka i R2 kaller for ikke-lineære modeller. I videregående skole har modellering lett for å bli et synonym med regresjon. De mest vanlige regresjonene er de på formen

 tex:[[y%3Dax%2Bb]]

 tex:[[y%3Dax]]

 tex:[[y%3Dax%5E2%2Bbc%2Bc]]

 tex:[[%20y%3Da%5Cln%20x%20%2B%20b]]

 tex:[[%20y%3Dax%5Eb]]

 tex:[[y%3Db%5Ccdot%20a%5Ex]]

 tex:[[y%3Dc/%281%2Ba%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B-ax%7D%29]] og

  tex:[[y%3DA%5Csin%28cx%2B%5Cvarphi%29%2Bd]].

Alle disse kan du gjøre i program som GeoGebra og wxMaxima. Dessverre er det slik at elevene får servert tallmateriale som de så skal bearbeide. Det blir lite innhenting av egne data. Dette er ikke krise for de elevene som tar fysikk, siden de der ofte må gjøre målinger og ut fra disse lage ulige matematiske modeller.

Bergen 1 (Bryggen)

Her om dagen jobbet elevene med sinus-regresjon (siste typen på lista over). I den forbindelse gav jeg dem oppgave å finne ut hvor høy vannstanden var i Bergen klokken 18:00 på julaften 2010. Grunnen til at jeg valgte denne dagen, er at yr.no oppgir vannstanden for dager framover i tid, men ikke før 1. januar 2011. De måtte derfor bruke de talla som er oppgitt for 2011 og lage en modell som de kan ekstrapolere bakover i tid.

 

Som lærer tenkte jeg at vi kunne se på vannstanden 1. januar, lage en modell ut fra denne dagen og så spole bakover i tid. Men eleven var smartere. Det var faktisk flere av dem som i stede så på alle dagene i januar dette året og vannstanden klokken 1800 disse dagene. Ut fra disse fikk de følgende graf:

image

Så utførte de en sinusregresjon på denne og fikk at

  tex:[[f%28x%29%3D80.3%20%2B%2041.4%20%5Csin%280.419x%20%2B%202.267%29%0D%0A]]

Så var det bare å ta tex:[[f%28-7%29%3D54%2C6]]. Denne verdien var litt høyere enn observert måling. Årsaken til denne «feilen» er at været påvirker tidevannet. I dette tilfellet var det hele 24 cm lavere vannstand enn modellene brukt av sjøkartverket. En slik vurdering av modellen hører selvsagt med til modelleringskompetansen til elevene.

 

Konklusjonen min: du lærer så lenge du har elever!

 

Bildet tatt av GudikFoto på Flickr med tittel Bergen 1 (Bryggen) på Flickr.

onsdag 26. januar 2011

Arbeidsark i GeoGebra

Jeg vil i dette innlegget vise hvordan du kan lage arbeidsark som nettsider i GeoGebra. Det første du gjør er å lage selve GeoGebra-fila og velger så å eksportere til nettside.

image
Når en gjør dette, så får en følgende vindu opp:

image

Et tips før du kommer så langt er å tilpasse de ulike menyene. Dert gjør du ved å klikke på Tilpass verktøylinje under Verktøy:
image
Du får da opp følgende vindu:

image
Her kan du «Slette» verktøy. Dette gjelder kun for akkurat det arbeidsarket du nå lager, med mindre du lagrer innstillingene dine i GeoGebra under «Innstillinger». Dette kan være nyttig dersom du for eksempel ønsker at elevene selv skal gjøre ulike konstruksjoner som de ellers lett kan gjøre ved hjelp av et verktøy.
Her ser du hvordan en slik fil kan se ut etter at en del verktøy er tatt bort:
image

Når du har lært å lage slike arbeidsark, så kan det være at du faller for fristelsen å ta ett steg videre: å bruke Javascript! Hovedkilden du vil gå til for å lære dette er her.

<form>
<input onclick="document.applets[0].setVisible('tekst', true);" type="button" value="Vis funksjonsuttrykk" />
<input onclick="document.applets[0].reset();" type="button" value="Ny oppgave" /></form>

Jeg vil her vise et eksempel som muligens klargjør hva dette går ut på. Jeg vil vise hvordan jeg laget følgende ark. Poenget her er de to knappene under selve GeoGebra-fila. Disse er laget ved å legge til noen linjer etter applet-koden i html-fila. Det vil si at jeg har lagt til følgende linjer etter appleten:Dette gir disse knappene:
   

På GeoGebra siden nettsider finner du flere objekter og handlinger som kan legges til. På denne måten kan vi altså manipulere GeoGebra-fila ved knapper eller anndre innputs. Litt mer avansert, men kanskje nyttig for noen?

tirsdag 18. januar 2011

Minste kvadraters metode i R2

For tiden jobber vi med modellering i R2. I den forbindelse skal elevene kunne utføre ulike typer regresjoner. Den vanligste av disse er lineær regresjon: gitt en del punkter i planet. Finn så den linjen som passer best (i en eller annen forstand) til disse punktene.

Jeg har alltid hatt en følelse av at dette blir veldig mekanisk og kunstig for elevene. Trykk på noen knapper på kalkulatoren eller pc-en og vips så får du linjen. Men hva er det egentlig som skjer? Hvilken matematikk ligger bak denne formelen? Dette er noe som blir lite lagt vekt på i lærebøkene. Det synes jeg er litt dumt. Da tror jeg faktisk at elevene ville være bedre tjent med å kutte ut hele regresjonsgreie og heller jobbe med forståelse innenfor andre tema. Men det er nå bare min mening.

 

Så hvordan kan vi så gjøre dette mer forståelig for elevene? Jeg vil ikke komme med noe fasitsvar på dette her, men vil skissere en måte å gå fram på. Hvor mye elevene faktisk sitter igjen med etter en slik gjennomgang er ikke godt å vite og avhenger selvsagt av bakgrunn og motivasjon til eleven.

 

imageDet går an å gjøre en innføring som appelerer til intuisjonen til elevene. Jeg har laget et lite GeoGebra-arbeidsark som kan brukes i denne sammenhengen. Selve ideen til arket har jeg fra GeoGebra-wikien, men må dessverre si at jeg ikke har klart å finne originalen igjen. Så her er min versjon.

 

Som du kan se, så har jeg lagt inn fire punkt i arket og en linje y=ax+b. Opplegget går så ut på å fikle med gliderne til vi får en linje som «passer bra». Legg merke til at du kan få summen av avvikene til å være konstant innenfor visse intervall av glideren b. Dette viser at selve avvika ikke er egnet som mål for hvor godt linja passer. Dette må selvsagt diskuteres med elevene i fellesskap. Noen elever vil så foreslå at vi kan bruke absoluttverdien av avvikene og det er selvsagt helt korrekt. Men det er ikke så lett regneteknisk. Derfor fant Gauss ut at summen av kvadratavvikene vil være et bedre mål. Ved å klikke på avkrysningsboksen for «Vis kvadrater og summen av disse» vil du få fram kvadratene. Poenget nå er å finne den a og b som gjør denne summen minst mulig.

 

Forhåpentligvis har de fleste elevene fått med seg ideen nå. Skal vi så stoppe der, eller bør vi dra dem et steg videre? Her er jeg litt usikker, men i år valgte jeg det siste. Jeg tok utgangspunkt i et eksempel. La oss si at vi vil finne linja som passer best til punkta (1, 2), (4, 5) og (7, 7). Vi ønsker med andre ord å finne en funksjon f(x)=ax+b som er slik at summen av kvadratene til avvikene blir minst mulig. Avvikene blir i dette tilfellet f(1)-2, f(4)-5 og f(7)-7. Det vil si at summen av kvadratene til disse blir:

tex:[[S%28a%2C%20b%29%3D%28a%2Bb-2%29%5E2%2B%284a%2Bb-5%29%5E2%20%2B%287a%2Bb-7%29%5E2%0D%0A]]

Det er denne summen vi ønsker å gjøre så liten som mulig. Dersom vi nå bare ser på b som en konstant og a som vår variabel, så kan vi derivere med hensyn på a. Dette kalles partiellderivasjon og fungerer på samme måte som vanlig derivasjon. Vi noterer dette som tex:[[%7B%7B%5Cpartial%20S%7D%20%5Cover%20%7B%5Cpartial%20a%7D%7D]]  Vi vet at dersom det er en a (og en b) som gjør denne summen minst mulig, så må den deriverte med hensyn på a være null. Vi får:

tex:[[%7B%7B%5Cpartial%20S%7D%20%5Cover%20%7B%5Cpartial%20a%7D%7D%20%3D%202%28a%2Bb-2%29%2B8%284a%2Bb-5%29%2B14%287a%2Bb-7%29%20%3D%200%20%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%2066a%2B12b%3D71%0D%0A]]

På samme måte må den deriverte med hensyn på b være null:

tex:[[%7B%7B%5Cpartial%20S%7D%20%5Cover%20%7B%5Cpartial%20b%7D%7D%20%3D%202%28a%2Bb-2%29%2B2%284a%2Bb-5%29%2B2%287a%2Bb-7%29%20%3D%200%20%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5C%2012a%2B3b%3D14%0D%0A%0D%0A]]

Vi har med andre ord fått to likninger med to ukjente a og b. Løser vi dette likningssettet, så får vi a=5/6 og b=4/3. Altså har den linjen som gir minst minste kvadratsum gitt ved

tex:[[y%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%0D%0A]]

 

I videregående tror jeg det neppe er noen god ide å dra dette videre og vise det generelt. Men de aller aller flinkeste kan kanskje klare å finne ut av den generelle formelen for a og b selv. Men det gjør jeg ikke her i bloggen Smilefjes som blunker.

 

Prosedyrene beskrevet over er selvsagt ikke noe vi skal gjøre hver gang vi skal gjøre regresjoner. Så i det videre arbeidet vil elevene mine bruke GeoGebra.

 

Et lite tips til slutt. Det fins mange kommandoer for regresjon i GeoGebra. To av disse er RegLin og RegPloly. Sistnevnte kommando tar to argumenter: liste med punkter og grad. Velg grad lik 1. Dette er bedre enn RegLin siden denne kun gir en linje som var, mens RegPoly gir en funksjon som svar. Dette er mye bedre dersom vi i en modell skal finne hva y er når x er gitt. Da er det bare til å regne ut f(x)!

 

Helt til slutt: synes du det er å presse elevene for mye når jeg tar dem med på slike partiellderiveringer, eller tror du dette kan være med på å øke den matematiske forståelsen til elevene? Jeg spør fordi jeg er usikker!

mandag 17. januar 2011

Matematikk og skjønnhet

På engelsk tales det ofte om «the beauty in mathematics». Om ordet skjønnhet er en god oversettelse kan sikkert diskuteres, men hva ligger i en slik beskrivelse av faget? Filmen under viser en tolkning av dette:

The Fibonnacci suite in it's all beauty

En veldig bra laget film som viser hvordan Fibonacci-tallene går igjen i ulike sammenhenger i naturen. Filmen viser at matematikk fins i skjønnhet. Den viser ikke hvordan det gylne snitt er brukt i ulike kunstverk og arkitektur (som det blir).

Men det er en annen side ved faget som jeg ønsker at mine elever skal oppdage, nemlig skjønnheten i selve matematikkfaget. Matematikeren G. H. Hardy skriver om dette i sin bok A Mathematician's Apology:

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.

Her om dagen kom jeg over en fin side på wikipedia som tar for seg dette temaet: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty Her løftes balant annet fram skjønnheten i et bevis. Ja, du leste riktig. Et bevis kan være vakkert. Men alle beviser er ikke det. Du kan for eksempel vise at

tex:[[%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cleft%28%20%7B%5Cmatrix%7Bn%20%20%5Ccr%20k%20%20%5Ccr%20%7D%20%7D%20%5Cright%29%20%3D%202%5En%0D%0A]]

ved induksjon på n. Men du får et enda vakrere bevis ved å bruke binomialteoremet:

tex:[[%28x%2By%29%5En%20%3D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%20%5Cleft%28%20%7B%5Cmatrix%7B%20n%20%20%5Ccr%20%20k%20%20%5Ccr%20%7D%20%7D%20%5Cright%29%20x%5E%7Bn-k%7Dy%5Ek%0D%0A]]

og sette x=y=1. I filmen under beskriver en del matematikere hvordan du ser på matematiske bevis som vakre.

Is a Mathematical Proof Beautiful? - Mathematical Ethnographies series

Hva har dette å si for oss som er så heldige å få undervise i dette faget? Påvirker dette vårt syn på faget og hvordan vi jobber med matamatikk med elevene? Selvsagt gjør det det! Vi vil at elevene skal oppdage denne elegansen. Det kan være et vakkert bevis for pytagoras’ setning. Det kan være en flott måte å vise at summen av to partall er et partall. Eller (for matematikk X) at det fins uendelig mange primtall. Men jeg tror også det påvirker oss på hvordan vi velger å løse oppgaver. Det fins lette måter å løse oppgaver digitalt, men de er liksom ikke så vakre. Vi foretrekker ofte å vise ting ved regning (hva vi nå enn mener med dette).

 

Her er en oppgave du kan løse. Det fins en veldig elegant løsning og når du finner den (om du gjør ;-), så vil du smile og si at det var artig! Her er oppgaven:

Et tre er 20 meter høyt og har en omkrets på 3 meter. En plante slynger seg fint rundt treet syv ganger og går fra bunnen av treet og helt til tops. Hvor lang er dette planten?

Her er et annet problem som har en veldig elegant løsning:

Vis at 1+1/2+1/3+1/4+… divergerer.

Du kan vise dette ved å gruppere leddene på følgende måte:

S1=1/2

S2=1/3+1/4

S3=1/5+1/5+1/6+1/8

etc.

Sk har med andre ord tex:[[2%5E%7Bk-1%7D]] ledd og i hver av disse summen er det siste leddet minst. Det vil si at

tex:[[Sk%20%3E%202%5E%7Bk-1%7D%5Ccdot%201/2%5E%7Bk%7D%3D1/2%20%0D%0A]]. Dette viser igjen at hele den opprinnelige rekken er større enn

1 + 1/2+1/2 +… og siden dette er en divergent rekke, så må også rekken 1+1/2+1/3+… være det.

torsdag 13. januar 2011

Videorapport fra BETT 2011

Filmen under viser noen snutter fra årets BETT-messe. Denne uken er jeg så heldig å få være med de andre ePedagogene i Hordaland fylkeskommune til London BETT samt skolebesøk.

BETT 2011 from Tor Espen Kristensen on Vimeo.

tirsdag 11. januar 2011

IKT og framtiden

Senter for IKT i utdanningen har laget en film med tittelen «Fremtiden starter nå».

Senter for IKT i utdanningen - Fremtiden starter nå from Howie Arnstad on Vimeo
Filmen er godt laget og dens budskap er at elevene er omgitt med teknologi og at vi som lærere (og skoleledere) har ansvar å lære opp elevene til å bruke denne teknologien på en god måte og at denne også kan gi bedre og mer læring. Det bør settes av tid til at lærerne kan oppdateres seg innfor teknologien og at de da kan bli satt i stand til å bruke den i undervisningen.
Dette er i og for seg greit. Men min erfaring så langt er at teknologien bringer oss et visst stykke (egentlig ikke så veldig langt) og at den største utfordringen er hvordan vi kan bruke denne teknologien i en faglig kontekst og på en fagdidaktisk god måte.
La meg ta et eksempel. Ved hjelp av et digitalt verktøy som GeoGebra eller TI-nspire kan vi utforske grafer ved hjelp av glidere (nevnt i filmen). Dette er et utrolig godt hjelpemiddel! Men hvordan skal vi jobbe med slike i undervisningen? IKT må bli mer en at vi bare demonstrerer noe for elevene. Hvordan kan vi få elevene til å selv oppdage sammenhenger, kommer med forslag og spørsmål til videre utforsking. Det er der utfordringen ligger synes jeg. Eller hva mener du?

søndag 9. januar 2011

Matematikk – fra mønster til bevis

Hva er matematikk? Det er et ganske dypt spørsmål og det fins et hav av svar på dette spørsmålet. På den ene siden kan faget bli sett på som en samling av fakta og ferdigheter. Å lære matematikk vil ut fra et slikt syn si å kunne mestre algoritmer, kunne gjengi teoremer og huske ulike definisjoner. På den andre siden kan vi si at matematikk er «vitenskapen om mønster» (engelsk: science of patterns). Ut fra dette synet går matematikk ut på å lete etter mønster og sammenhenger.

Heldigvis trenger vi ikke å velge ståsted. Matematikk er mer enn fakta og ferdigheter, men disse er også viktige deler av faget. Vi søker å finne sammenhenger og algoritmer. Når vi har funnet en sammenheng, så prøver vi å bevise denne ut fra visse formelle spilleregler. Når dette er gjort og vi således har klart å bevise resultatet sier vi at vi har et teorem.

Et kjent eksempel på dette er Fermats siste sats. Denne sier at det ikke finnes hele tall a, b og c slik at tex:[[a%5En%2Bb%5En%3Dc%5En]]  for heltall, tex:[[n%5Cgeq%203]]. I tilfellet n=2 gjelder dette ikke, for der har vi alle de pytagoreiske triplene, for eksempel tex:[[3%5E2%2B4%5E2%3D5%5E2]]. Poenget her er at ingen klarte å bevise at denne satsen var sann før Andrew Wiles klarte det i 1995. Det var 358 etter at Pierre de Fermat satte fram sin formodning i margen til Diofantos bok Aritmetica. Hvordan «visste» så Fermat og alle matematikere som i århundrene etter prøvde å finne et bevis at dette stemte? Det var små biter som alle pekte mot denne sammenhengen. Faktisk klarte Leonardi Fibonacci å bevise at «Fermats sats» stemte for n=4 allerede i 1225. Euler viste at satsen var rett for n=3 i 1770 og Sophie Germain klarte å vise den for alle primtall mindre enn 100. Men det var altså Andrew Wiles som endelig klarte å bevise resultatet generelt.

Det er alltid interessant å studere hvordan matematiske sammenhenger oppdages og bevises i et historisk perspektiv. Tar du en standard tekstbok i matematikk, så ser alt så rent og pent ut med en logisk oppbygging. Dette viser strukturen i faget. Dette er noe som alltid har fasinert meg og er trolig grunnen til at jeg valgte algebraisk geometri. I algebraen er selve strukturene essensen av det vi studerer. Vi konstruerer visse objekter og lager en additiv og multiplikativ struktur. De som har studert lineær algebra vil se dette tydelig i teorien om vektorrom.
Men hva har dette å si for undervisningen i videregående skole? Dessverre er det lite leting etter mønster og sammenhenger i lærebøkene. Selv om det er mange gode unntak for det jeg her skriver, så tror jeg ikke at jeg er langt fra sannheten når jeg sier at lærebøkene legger lite opp til at elevene skal utforske og oppdage sammenhenger. Og dessverre blir også den formelle siden neglisjert.

La meg ta et eksempel. Elevene får allerede i ungdomsskolen lære at når du ganger sammen to negative tall, så vil svare bli et positivt tall -- eller som det ofte heter: minus og minus er pluss. Men hvordan kan elevene «vite» at dette stemmer? Jeg har satt vite i anførselstegn siden det etter min mening fins flere nivåer i det å vite noe. Fermat var gangsk sikker å at satsen hans var sann. Han bare visste det. Men det var egentlig ingen som visste det før i 1995.
Her er en måte som jeg har hatt suksess med når det gjelder regelen «minus ganger minus er positiv». Start med to positive tall, la oss si 4 og 5. Spør så elevene hva du får når du ganger dem sammen. Svaret er 20. Reduser så systematisk det ene tallet slik at du får følgende liste med regnestykker:
clip_image010
Hva er sammenhengen her? Er det noe mønster i svara? Her er tanken at elevene selv skal se at svaret reduseres med 4 nedover. Så da blir de to neste tall 4 og 0. Så hva blir da  tex:[[4%5Ccdot%20%28-1%29]]? Det er 4 mindre enn 0 ikke sant? Altså -4. Hva så med tex:[[4%5Ccdot%20%28-2%29]]? Det blir -8. Sammenhengen er oppdaget: et positivt tall multiplisert med et negativt tall er det tilsvarende negative tallet.
Når denne sammenhengen er oppdaget fortsetter vi med å utforske hva som skjer om vi starter med et negativt og et positivt tall, for eksempel 6 og -4. Vi gjentar så oppsettet over og spør hva vi får når vi ganger sammen disse. Svaret blir -24 ikke sant? Så reduserer vi 6:
clip_image016
Hva er så sammenhengen her? Jo, når vi reduserer tallene til venstre, så øker svaret med 4 nedover. Så da blir de neste tallene -8, -4 og 0. Det store spørsmålet nå er hva clip_image018blir? Det er vel 4 mer enn 0 det da! Akkurat! Så da kan vi fortsette:
clip_image020
Hvilken sammenheng ser vi? At et negativt tall multiplisert med et negativt er et positivt tall!
Hva så med den formelle siden? Hvordan beviser vi en slik sammenheng? Når jeg nå skal gå igjennom et slikt bevis, så tror jeg mange vil forstå hvorfor dette ikke blir gjort for de fleste elevene. Men da jeg underviste på ungdomstrinnet tok jeg de flinkeste elevene til sides og viste dem beviset. Dette var for elever i 9. trinn og dersom du rynker på nesen over dette, så vil jeg si at det er min faste oppfatning at de flinkeste elevene kan presses mye lenger enn det vi ofte gjør. Men her er beviset. Vi starter med å se på tex:[[%20a%5Ccdot%20%28-b%29]] . Vi ønsker å vise at dette blirtex:[[%20-%28a%5Ccdot%20b%29]]. En fin måte å gjøre dette på er å vise at når du adderertex:[[%20a%5Ccdot%20%28-b]]) og tex:[[a%5Ccdot%20b]], så får du 0 til svar. Vi får dette til ved å bruke den distributive lov (faktorisere ut en felles faktor – i dette tilfellet a):
 
tex:[[a%5Ccdot%28-b%29%2Ba%5Ccdot%20b%20%3D%20a%28-b%2Bb%29%3Da%5Ccdot%200%20%3D%200]]
 
Dette viser at tex:[[a%5Ccdot%28-b%29%3D-a%5Ccdot%20b]]. La oss så gå videre og se påtex:[[%20%28-a%29%28-b%29]]. Vi vil vise at dette er lik tex:[[a%5Ccdot%20b]]. Det kan vi gjøre ved å vise at tex:[[%20%28-a%29%5Ccdot%28-b%29%2B%28-a%5Ccdot%20b%29%3D0]] . Nå vet vi at andre leddet på venstresiden i dette uttrykket er lik tex:[[a%5Ccdot%20%28-b%29]] . Vi får derfor
clip_image038
Dette viser at tex:[[%28-a%29%5Ccdot%28-b%29%3Da%5Ccdot%20b]].
Mitt poeng med dette blogginnlegget er å vise et eksempel på at matematikk er mer enn å kunne memorere ulike definisjoner og regler. For meg er det viktig at elevene får oppdage alle sidene med faget, ikke bare de aller flinkeste i for eksempel R2. Jeg er litt redd for at faget i dag er delt opp etter skoleslag. På barnetrinnet er det mer oppdagende aktiviteter og lite innslag av den formelle siden ved faget mens i videregående er mer regler og algoritmer og litt av den formelle siden. Alle sidene må jobbes med på alle nivå —også på universitet og høgskole.

tirsdag 4. januar 2011

Intuisjon og det formelle…

For tiden jobber elevene mine med trigonometriske funksjoner, nærmere bestemt derivasjon av slike. I dette blogginnlegget vil jeg komme med noen tanker om hvordan dette innføres for elevene. Jeg vil spesielt ta for meg hvordan elevene blir presentert hva den deriverte til image. I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

image

Ut fra grafen ser vi at

image.

Videre argumenteres det med perisodisiteten til funksjonen og fortegnet til den deriverte. Kanskje elevene vil kjenne igjen disse egenskapene som tilhørende cosinus-funksjonen? Her er det vår intuisjon som blir utfordret. Etter dette blir den deriverte plottet med grafisk kalkulator – noe som viser at vår mistanke om at f’(x)=cos x  ikke er urimelig.

Til slutt blir den deriverte analysert ved hjelp av Newton-kvotienten:

image

Dette er i og for seg en grei måte å gjøre dette på og jeg liker Aschehougs versjon bedre enn Cappelens versjon. I sistnevnte læreverk blir regelen bare slått fast: den deriverte til sin(x) er cos(x). Beviset blir gjennomgått i et senere avsnitt. Dette mener jeg er en feil måte å jobbe med matematikk på. Det er greit nok at ikke alle elevene vil være med på beviset, men disse bør i alle fall jobbe intuitivt med stoffet.

Jeg liker best å innføre det på følgende måte. Ut fra grafen over kan vi tippe at den deriverte til sin x i x=0 er 1. Dette kan eventuelt utfordres ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel (Les: GeoGebra). Men en slik intuisjon må underbygges formelt. Så derfor tenker jeg at det er ok å prøve å finne den deriverte til sin x i x=0 ved hjelp av definisjonen til den deriverte:

image

Her kommer vi altså fram til den berømte grensen, og vi har allerede en fornemmelse av at denne skal bli lik 1. Det er min oppfatning at vi i R2 skal ta med elevene på et «bevis» for at denne grensen er 1. I Aschehoug blir dette gitt som oppgaver bak i boka. Som kjent bruker vi følgende figur for å squeese grensen til 1:

image

Ut fra denne figuren ser vi at

image

Antar vi at u>0, så kan vi dele med sin u og få:

image

Det vil si at

image

 

Lar vi nå u gå mot null (fra høyre), så ser vi at

image

For å vise at dette også funker når u<0, så er det bare å sette v=u og bruke at sin(-v)=-sin(v). Alt dette viser altså at f’(0)=1.

Når dette er gjort, så kan vi spørre hva den deriverte til g(x)=cos(x) er når x=0. Grafisk, så «ser» vi at dette bør bli 0. Ut fra definisjonen ser vi at vi får grensen:

image

Vi jobber oss så fram til at dette faktsik blir 0 ved å utvide brøken med  cosΔx +1 og bruke sammenhengen sin²x+cos²x=1. Lønnen for alt dette arbeidet får vi når vi prøver å finne den deriverte for f(x)=sin(x) for en generell x. Vi får da (om vi bruker formelen for sinus til summen av to vinkler) grensen

image

I R1 blir beviser tatt opp som et tema (ofte knyttet til algebra og ikke geometri!). Jeg mener at vi ikke skal være redde for å ta med elevene på en gjennomgang som skissert over. Elevene må få møte både den intuitive siden ved faget og den formelle siden. Men det krever en del tid og vi kan kanskje ikke regne med at alle elevene vil forstå alt. Men betyr det at vi ikke skal bruke tid på slikt? Jeg mener at også de flinke elevene må få noe å tenke på i timene. Og det er ikke sikkert at elevene vil bli så avskrekket av å jobbe slikt. Eller?