Pages

mandag 29. desember 2008

Bokanbefaling

Juleferie er tid for ettertanke, familie, fester med venner og familie, gode filmer på tv og lesing. En av bøkene jeg har lest denne julen er William Dunhams bok The Calculus Gallery. I denne boken viser Dunham hvordan Calculus (eller egentlig matematisk analyse) har utviklet seg fra Newton til Lebesque. Her får vi satt analysen i sin historiske utvikling der Dunham har valgt ut en del Matematikere som har gjort betydelige bidrag til analysen. Dette klarer han på en framragende måte. Men en liten advarsel. Du må ikke være redd for å følge matematiske beviser for å lese boken. Det dukker opp både ε og δ i teksten. Men det er dette som er så fint med de bøkene jeg har lest av Dunham. Her får du mer en historien om matematikerne. Du får også matematikken som de utviklet! Dette er boken jeg skulle ha lest da jeg var student ved UiB!

Et lite ankepunkt: jeg skulle gjerne ha sett at han tok med Abel i sitt galleri!

Litt morro i romjula: kvadratrot for hånd

Vi er så vant med å bruke kalkulatoren nå at vi kan stå i fare for å glemme viktige regneteknikker... Så derfor skriver jeg litt om hvordan vi kan trekke kvadratrøtter uten å bruke kalkulator. Prinsippet er enkelt og jeg viser det med et eksempel.

La oss si at vi vil ta kvadratroten av 15. Vi vet svaret må være litt mindre enn 4 siden 42 = 16. Vi starter derfor med å dele 15 med 4 (altså et tall i nærheten av kvadratroten). Vi får da 15/4= 3,75. Så tar vi gjennomsnittet av dette og 4 (tallet vi tippet) og får 3,875. Allerede nå har vi kvadratroten med to desimalers nøyaktighet.

Vil vi ha mer desimaler gjentar vi prosessen. Men nå bruker vi 3,875 i stedet for 4. (Desom dette blir for mye arbeid, kan vi velge f.eks. 3,9 -- poenget er at det nye tallet som vi «tipper på» er nærmere kvadratroten). Vi deler 15 på 3,875 og får 3,87097742. Gjennomsnittet mellom dette tallet og 3,875 er 3,87298387 som er korrekt opp til det 6. desimalet!

Neste spørsmål: hvorfor fungerer dette? For å vise dette generelt, lar vi tallet vi ønsker å finne kvadratroten til være x og det første tallet vi tipper på lik x1. Vi får da en følge av tall gitt rekursivt ved formelen

xn+1=(x/xn+xn)/2

Dersom denne følgen konvergerer mot c når n går mot uendelig, så får vi

c=(x/c+c)/2

Løser vi denne med hensyn på c får vi c2=x som ønsket. Men hvofor kan vi vite at følgen konvergerer? Dette kommer av at vi får

x1 < x2 <...<>n <...x

dersom x1 er mindre enn kvadratroten av x.Vi har med andre ord en voksende og oventil begrenset følge. (Dersom x1 er større enn kvadratroten av x får vi en avtagende følge som er nedentil begrenset). Denne er derfor konvergent ved kompletthetsaksiomet for reelle tall.

Hva er kvadratroten av 10 med tre deismalers nøyaktighet?

onsdag 17. desember 2008

Ikke så lett å lese på nett...


Kom over en rapport omtalt på forkning.no. Forskere ved lesesenteret i Stavanger konkluderer med at lesing på skjerm har negativ innvirkning på hukomelsen. - Lesing på skjerm innebærer at man mister helheten og deler av det fysiske aspektet.

Dette er vel noe å tenke på i debatten som foregår på lærerommene rundt omkring. Hordaland fylkeskommune bevilger mindre penger til lærebøker neste skoleår. Elevene skal i stedet ta i bruk NDLA (Nasjonal digital læringsarena). I første omgang er det naturfag og norsk som får merke endringen. Jeg har ingen ting i mot NDLA. Det er et flott initiativ og forlagene trenger litt konkurrasne. Men er det riktig at det må være enten eller?

onsdag 10. desember 2008

Bauer?

Elevene jeg har i Matematikk og fysikk synes faktisk at jeg ligner på Jack Bauer. En av elevene manipulerte et bilde for å få fram poenget. Likner jeg? Klikk på bildet for å se de i full størrelse.

TIMSS 2007 er ofentliggjort

Så var det en ny runde med ofentliggjøring av et internasjonalt komperativt studium. Denne gangen er det TIMSS 2007 som står for tur. TIMSS står for Trends in Mathematics and Science Study og er en undersøkelse som tester elevenes kunnskap og ferdigheter i forhold til de ulike lands læreplaner.

Årets ressultat er ikke så skremmende som tidligere ressultater. Vi skårer under det internasjonale gjennomsnittet, men det er en svak svak positiv trend fra sist. Spesielt på for 4. klassingene. Stikkord som jeg har fått med meg så langt: elever i Norge har færre timer med matematikk og naturfag enn i andre sammenlignbare land. Norske elever får mindre tilbakemelding fra lærer på hjemmearbeid. Det er (alt for) mye individualisering i Norsk skole og alt for mange lærere uten fordypning i matematikk.

Det som også gjør meg litt betenkt er hvor få lærere som oppgir at de har fordypning i matematikkdidaktikk og en kan spørre seg selv hvorfor det er slik? Kommentarer?

onsdag 3. desember 2008

Laget en screencast til...

I denne snutten viser jeg hvordan vi kan bruke sporing i GeoGebra til eksperimentering med geometriske figurer. Jeg konstruerer et kvadrat med hjørnene på sidene i en trekant. For å finne ut av hvordan dette kan gjøres setter jeg spor på et punkt og ser hva som skjer.


Sporing i GeoGebra from Tor Espen Kristensen on Vimeo.

mandag 1. desember 2008

Novemberkonferansen

24. og 25. november var jeg på konferanse i Trondheim. Det var Matematikksenteret som holdt sin årlige novemberkonferanse. Temaet for i år var geometri. Jeg reiste sammen med en kollega fra Stord videregående, og begge var enig i at det var en vellykket tur. Mye av parallellseksjonene dreide seg om GeoGebra. Jeg likte spesielt godt foredraget til George Malaty. Hans tema var «Geometry Meaning to Mathematics, Culture and Mankind Thinking. Pisa results and geometry education in Finland.»

Malaty tok spesielt for seg viktigheten av at elevene får trening i formell tenkning. Et av eksemplene hans var summen av vinklene i en trekant. Hvorfor er summen 180 grader? En del elever vil bruke eksempler for å «vise». Det er vanlig at elevene (og studenter!) tar for seg en likesidet trekant. Siden alle vinklene i en slik trekant er 60 grader, så blir summen 180 grader. Hva er egentlig logikken bak dette? Egenlit er det samme logikk som sier at Ole er fra Norge, derfor er han fra Bergen. For hvorfor vinklene i en likesidet trekant 60 grader? Er det ikke fordi at summen av vinklene i en trekant er 180 grader?

Malaty stresset også dette med at vi ofte bruker spesielle figurer når vi skal forklare noe i geometrien. For eksempel er det vanlig å tegne et rektangel når vi skal tegne en firkant. Men rektanglet er jo en meget spesiell firkant.

Et annet poeng som kom fram på konferansen var problemet med å bruke dynamisk geometriprogram. Se for eksempel på figuren under. Ta tak i hjørnene og flytt dem rundt omkring. Hva kan du si om summen av vinklene?











Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



Dette er i og for seg fint. Problemet med slike flotte oppsett er at det kan ta fra både lærer og elev motivasjonen for å faktisk gjøre et bevis for resultatet.

Moralen? Det er ikke oppgavene eller programmene elevene bruker som er det avgjørende, men hvordan de faktisk jobber med oppgaver og verktøyene. Det fins gode og dårlige måter å bruke digitale verktøy på.