Pages

tirsdag 22. desember 2009

God jul!

Vil med dette innlegget ønske alle leserne av denne bloggen God Jul og et godt nytt år!

onsdag 16. desember 2009

Tallkarakterer i underveisvurderuingen…

Bildet fra quadrant6ix på Flickr Nå har Kunnskapsdepartementet kommet med melding om at «Lærerne kan bruke pluss- og minuskarakterer». Dette kommer som et motsvar på presiseringen fra utdanningsdirektoratets melding om at elevene skal ha hele karakterer også på prøver. Det dreier seg om en endring/justering av forskriften slik at det blir mulig med plusser og minuser. Dette er både jeg og elevene mine fornøyd med.

- En presisering om bruk av karakterer vil slik jeg ser det raskt kunne komme på plass. I mellomtiden forventer jeg at den enkelte lærer selv praktiserer vurderingene på en fornuftig måte, sier Kristin Halvorsen. (Sitat fra Kunnskapsdepartementets melding).

søndag 13. desember 2009

Jolicloud – jolly good!

Har testet ut Jolicloud som er en Linux-distribusjon bygget på Ubuntu og laget for nettbooks. Jeg har en Asus eeepc 900 hjemme. Dette er ikke akkurat den raskeste maskinen, så forventningene var ikke helt de store.

Du kan laste ned distribusjonen fra http://www.jolicloud.com/. Der finner du også en bra veiledning. Du laster ned iso-fila + et program som gjør at du kan gjøre usb-penn bootable (hva er det norske ordet?). Så er det bare å starte pc-en med usb-stikka i og svare på noen få spørsmål.

Det som er fint med denne distribusjonen er at den er tilpasset de behovene jeg har med en slik liten pc. Det vil si at lagring skjer mot nettet (jeg bruker dropbox). Det er enkelt å sette pc-en opp med Flickr, Twitter, Facebook etc. Det er faktisk laget egne applikasjoner tilpasset den lille skjermen en slik liten pc har.

Screenshot-3

Mine erfaringer så langt er positive. Distribusjonen virker rask og enkel å bruke og det er lett å installere.

ubuntu

Fortalte jeg forresten at maskinen tok 45 sek fra jeg startet maskinen til den var klar til bruk? Det stemmer: 45 sekunder!

torsdag 3. desember 2009

Tallkarakterer i underveisvurderingen…

I dag publiserte udir på deres nettsider at vi ikke har tilgang til å bruke karakterer av typen 4+ 5/4 etc. Det skal kun brukes hele karakterer. I notatet står det:

Bare hele tallkarakterer skal brukes når det gis vurdering med karakter i fag. Karakterer som 4+, 3/4, 3- eller liknende skal ikke brukes. En tallkarakter må eventuelt tydeliggjøres gjennom beskrivelser av elevens kompetanse, altså ved vurdering uten karakter. Dette gjelder også på enkeltprøver.

Mine vurderinger med karakter  vil med andre ord ikke kunne se slik ut:

image

Hva betyr dette i praksis? Intensjonen er at i stede for en + eller –, så skal jeg for skrive med tekst for eksempel hva som må til for å få en mer klar treer (i stede for 3-). Eller jeg må skrive hva som gjorde at fireren var en sterk firer.

Men dette er vel egentlig ikke helt nytt. De fleste lærere jeg kjenner skriver kommentarer på prøvene til elevene. Dette i lag med en grunndig gjennomgang av en prøve tror jeg har god effekt for elevene.

For en del år siden jobbet jeg i grunnskolen. Når vi skulle gi årskarakterer til elevene, så fikk ikke lov å gi annet enn hele karakterer. På den skolen (og sikker mange andre) var det kultur for at karalterboka så slik ut:

Norsk 5 på grensa til fire
Matematikk 4 (svak)
Naturfag 4 sterk
KRL 5  

Etter mitt syn er dette nøyaktig det samme som å skrive 5/4, 4-, 4 og 5. Jeg tipper at det er nettopp dette som kommer til å skje nå. I SkoleArena vil en vurdering nå se slik ut:

image

Dette innebærer litt mer skriving fra lærerens side, men innebærer ikke en endring fra tidligere praksis. Men det betyr selvsagt ikke at dette er en tilstrekkelig vurdering av eleven. Og det har det heller aldri vært! Spørsmålet blir nå: må vi skrive tekstkommentarene til elevene (der vi forteller dem hva de må gjøre for å bli bedre) i systemer som SkoleArena? Jeg liker best å gjøre dette enten på selve prøven eller muntlig til eleven. På den måten vil vurderingen bli gitt i den rette konteksten. Det kan enten være kommentarer til enkelte oppgaver eller en helhetsvurdering til slutt. Eksempel på den siste typen kan være:

Nå ser jeg at du får til å regne med bokstavuttrykk greit. Du må jobbe litt mer med ulikheter. Hvorfor må vi snu ulikhetstegnet når vi deler med et negativt tall?

Et eksempel på kommentar til elev i forbindelse med en oppgave: La oss si at eleven har regnet slik: $(a+b)^2=a^2+b^2$. Da kan jeg spørre eleven hva $(1+1)^2$ er. Eleven vil da se at her er det noe som ikke stemmer. Dette vil jeg så ta opp i plenum med klassen.

Geir Botten har skevet en meget interessant bok med tittelen Meningsfylt matematikk. I denne tar han opp vurdering av elevene i matematikkfaget. Han slår her et slag for det å rette med grønt. Her er et eksempel på retting med rødt:

imageDette hjelper ikke eleven særlig. Eleven har feil på oppgave 2 og 5. Og så? Her er eksempel med grønn penn:

image

Poenget her er å få eleven engasjert i matemtaikken. Vi vil få dem til å tenke! Vi vil at de fremdeles skal lære noe.

Slik jeg har forstått de bakgrunnsdokumentene som ligger bak den nye vurderingsforskriften, så er det slike ting som må endres på. Det er ikke godt nok å lime inn en stjerne når eleven har gjort noe bra eller bare skrive g for galt når eleven ikke har fått det til. Når noe er bra, så må vi fortelle hva som er bra og når en elev ikke får noe til, så må en fortelle eleven hva som må til.

Men kan en rigid vurderingsforskrift endre på dette? Jeg mener bestemt nei. Den vil kun klare å endre på innpkaningen og vil ikke innebære en radikal endring av vurderingspraksis (dersom vi trenger det).

Hva er det vi trenger da? Jeg synes at fokuset må vekk fra det formelle og juridiske og over til det didaktiske. Jeg liker mye bedre det engelske ordet assessment enn vårt vurdering. Assessment handler om mer en selve vurderingen. Det dreier seg også om oppgavetyper, hvordan en stiller spørsmål, hvilke mål vi har for undervisningen etc.

La meg ta et eksempel. La oss si at vi ønsker å finne ut hva eleven kan om algebra. VI ønsker å finne ut hva eleven kan om første kvadratsetning og om eleven kan løse likninger. Se da forskjellen på disse oppgaveformuleringene:

image

Bare ved å endre på oppgaveformuleringe vil vi kunne finne ut mye mer om elevens kompetanse. De modifiserte spørsmåla tester bredere på elevens kompetanse!

Det er slike ting jeg vil bruke tida mi på. Det er her fokuset må ligge, ikke hvordan vi pønsjer inn karakterene i et administrasjonssystem…

mandag 30. november 2009

Overtidseleven…

Det skrives og snakkes en del om fulltidsstudenten. Men hva med eleven? Jeg kan godt huske hvor befriende det var å bli student. Jo da, det var ikke det at jeg ikke jobbet som student. Jeg var en av streberne som satt på auditoriefløyen fra åtte-tiden til åtte-tiden med innlagt matpauser og andre sosiale adspredelser. Men det som var så fint med å være student var at jeg da fikk fokusere på mindre fag og mindre tema.

summer reading by Robert S. Donovan on Flickr. Lisens: CC-ny Nå underviser jeg i videregående skule, og jeg blir til tider frustrert på elevenes vegne. Ukene fylles opp med ulike oppgaver/innleveringer i flere fag og fokustrengselen blir synlig på elevenes slitne ansikter. Jeg snakker nå om de elevene som faktisk jobber på og har et mål med det de gjør. Det fins unnasluntrere, det er ikke de jeg snakker om her.

Så hvordan ser en uke ut for en elev i videregående? Jeg ba en av mine elever om å skrive opp en liste over alle gjøremål som står på planen en uke. Her er listen:

Norsk: Framføring av særemne, torsdag + lese på modernisme

Historie: Lese til prøve, fredag

Religion: Arbeidsoppgåver som må leverast inn (ein del arbeid her)

Matematikk: 19 oppgåver om trigonometriske funksjonar

Fysikk: Lesing til prøve, onsdag.

Kjemi: 12 oppgåver. Øving med rapport. I tillegg kjem ei ekstraoppgåve i samband med eit demonstrasjonsforsøk.

Det er kanskje vansklig å vite hvor mye hver av disse «leksene» utgjør. Men la meg si det slik, at dette er for mye! Elevene kan umulig få oppleve glede ved de ulike faga med denne fokustrengselen. Kanskje vi skulle differensiere mer på fag? Hva om realistene fikk mindre andre fag og mer realfag?

En annen ting som slår meg, er at den eneste måten å få dette bedre til på, er at vi lærere samarbeider mer. Men dette er enklere sagt enn gjort. I grunnskolen er dette lettere (og på en del yrkesfag) siden elevene der er mer samlet i klasser/grupper. Men på studiespesialiserende i videregåanede har vi mange elever med mange ulike kombinsjoner av studieretningsfag. En lærer har med andre ord elever fra opp til 12 klasser.

Hvordan skal vi få til dette?

fredag 27. november 2009

Besøk på institutt for fysikk og teknologi

The Large Hadron Collider/ATLAS at CERN, av Image Editor, Lisens: CC-byI dag har jeg vært på tur med mine elever i Fysikk 1. Turen gikk til universitet og fysisk institutt (som nå altså heter institutt for fysikk og teknologi). Her fikk vi et bra opplegg med forelesninger fra master- og phd-studenter. Kjartan Olafsson stilte opp for oss og laget et kjekt program. Ikke rart at han fikk en ærespris for fremragende insats i formidling av fysikkfagets glede!

Slik så programmet ut:

kl. 1130-1145: Velkommen
kl. 1145-1230: Romfysikkshow v/Karl Magnus Laundal
kl. 1230-1250: Pause
kl. 1250-1330: Partikkelfysikkshow v/Peter L. Rosendahl
kl. 1330-1400: van de Graaff v/Kjartan Olafsson

Etter dette fikk elevene en omvisning på høyden og vi avsluttet med et verdig måltid på Pastasentral. Sistnevnte hadde sterke nostalgiske innslag for en tidligere UiB-student!

På båten hjem gikk diskusjonen livlig for seg med spørsmål om Higgspartikkelen, supersymmetrier og superstrengteori. Det var artig for lærer og elever å få høre fra forskningen som foregår på instituttet. Dette er et opplegg som anbefales. Men jeg lurer på om ikke elever i Fysikk 2 ville få enda større utbytte av opplegget enn i Fysikk 1. Det er i dette faget at partikkelfysikk er på planen. Men uansett: dette var inspirerende.

Her er forresten en film fra CERN:

This video is also available in other formats here »

tirsdag 24. november 2009

Reasoning and sense Making in Statistics & Data analysis

På en av parallellsessjonen var jeg og hørte på Michael Shaughnessy. Dette var en virkelig god økt. Han snakket litt om dette med å samhandle med hverandre og med matematikken. Et av poengene hans var at resonnering rundt innsamlede date er av en litt annen art en resonnering i andre matematikkgrener (som er mer statisk og deterministisk). Han kom med en påstand som jeg fremdeles tygger på: Statistikk krever en kontekst (i motsetning til annen type matematikk). Photo by Jon Sullivan, http://pdphoto.org/PictureDetail.php?mat=pdef&pg=5274

Han tok utgangspunkt i Old Faithful, som er en geysir i Yellowstone-Nationalpark i Wyomig. I 1985 ble det samlet inn data fra denne geysiren i løpet av noen uker. Noen av disse dagene hadde den følgende tidsintervall (i minutt) mellom hver utblåsing:

1) 86, 71, 57, 80, 75, 77, 56, 81, 50, 89, 54, 90, 73, 60, 83

2) 65, 82, 84, 54, 85, 58, 79, 57, 88, 68, 76, 78, 74, 85, 75, 65, 76, 58,

3)  91, 50, 87, 48, 93, 54, 86, 53, 78, 52, 83, 60, 87, 49, 80, 60, 92, 43

4)  89, 60, 84, 69, 74, 71, 108, 50, 77, 57, 80 61, 82, 48, 81, 73, 62, 79

5) 54, 80, 73, 81, 62, 81, 71, 79, 81, 74, 59, 81, 66, 87, 53, 80, 50, 87

6)  51, 82, 58, 81, 49, 92, 50, 88, 62, 93, 56, 89, 51, 79, 58, 82, 52, 88,

7) 52, 78, 69, 75, 77, 53, 80, 55, 87, 53, 85, 61, 93, 54, 76, 80, 81, 59,

8) 86, 78, 71, 77, 76, 94, 75, 50, 83, 82, 72, 77, 75, 65, 79, 72, 78, 77

Hver rad representerer her ca en dags måling. Utfordringen vi fikk av Shaughnessy var å studere tallmaterialet og ta stilling til følgende: Sett at det nettopp har vært en utblåsning (som du ikke fikk med deg siden du kom for sent), hvor lenge tør du være vekke dersom du må få med deg neste utblåsing. Her kan det være greit å bruke ulike grafiske representasjoner og lete etter sammenhenger. Å være data-detektiver som Shaugnessy kalte det. Det var også viktig at vi diskuterte dette med hverandre, delte våre ideer og lærte av hverandre. Det var faktisk veldig gøy. Dette datamaterialet innbyr til videre utforsking!

Dersom du vil ha flere data, så finner du disse på denne siden siden. Det kan være fristende å vise på bloggen ulike representasjoner, men det skal jeg ikke gjøre. Utfordringen gis heller videre. Hvor lenge ville du vente?

mandag 23. november 2009

Novemberkonferansen, åpningsforedrag av Bjørnar Alseth

Tittelen på foredraget til Alseth er "Sannsynlighet -- så viktig og så vanskelig". Alseth tar opp problemstillinger rundt sannsynlighetsbegrepet. Han viser på en humoristisk måte eksempler på hvordan hverdagen re fylt av usiker hendelser.

Alseth nevner eksempler på tilfeldige forsøk: spill, idrett (eksempel skiskyting). Han viste også en animasjon av regndråper som faller tilfeldig.

Sanssnysnlighet: tre store ideer:
  • Sjanse, tilfeldighet, risiko
  • Utfallsrom
  • Måling av sannsynlighet.
(Fra Jones & Langrall, 2007, Research in probability: Responding to classroom realities. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on mathematics teaching and learning.

Alseth viste eksempler på spådommer. For eksempel Nostradamus spådom om at Lady Diana skulle omkomme i en ulykke. Problemet er at dette kan leses ut fra Nostradamus når vi ser bakover i tid. Men det var ingen som fant denne tragedien i Nostradamus før den skjedde.

Alseth holdt et underholdende foredrag med mange eksempler (flere en nevnt i dette innlegget), men jeg skulle ønske at han gikk mer inn i didaktikken. Han klarte å vise hvor viktig det er, men fikk ikke helt fram hvor vanskelig det er (som begrep) for elevene. Men det han fikk frem (og det var kanskje poenget) var at vi alle har vanskelig for å ta inn over oss at livet er fullt av tilfeldigheter. Dette viste han godt med eksemepler fra fotballsporten.

onsdag 18. november 2009

Ser jeg deg på Novemberkonferansen?

23. og 24. novmber avholdes den årlige Novemberkonferansen arrangert av Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (Matematikksenteret). Temaet for i år er «Statistikk og sannsynlighet» og jeg gleder meg til mange gode foredrag og prallellseksjoner. I år skal jeg bidra på en av disse, nærmere bestemt den første på tirsdagen. Da skal jeg vise hvordan GeoGebra kan brukes til å simulere en del statistiske forsøk, slik som for eksempel terningkast.

image

Klikk på bilder over for å gå til en side med selve simuleringen.

Lagre bilder fra Word

Dette innlegget blir kun et lite tips angående bilder i Word. La oss si at du har et Word-dokument med noen bilder som du vil bruke. Hvordan kan du da få tak i bildene i original størrelse?

Jeg vet om to måter du kan gjøre dette på. Den ene er enkel dersom du kun har ett bilde du vil ha ut, mens den andre passer best dersom det er mange.

Mange bilder

Dersom det er mange bilder, så er det aller enkleste å lagre dokumentet som en webside.

image

Først velger du «Lagre som» og velger «Andre formater». Under filtype velger du så Webside.

image

image

Velg en mappe hvor du vil plassere filene og et passelig navn på websiden. Selve websiden er du selvsagt ikke interessert i. Det er bildene som er det interessante. Disse ligger i en egen undermappe:

image

Ett bilde

Dersom det kun er noen få bilder du vil ha tak i, så er det en litt kjappere metode. Det kan nemlig være litt irriterende med alle mapper, xml-filer etc som blir laget vet lagring som webside. Så her er en annen måte. Klikk på bildet du vil ekstrahere og kopier det (Ctrl-c). Åpne Powerpoint og lim det inn i en ny powerpointfil.Høyreklikk på bildet (i Powerpoint) og velg «Lagre som bilde». Da er det bare til å velge hvor du vil ha bildet og du er ferdig.

image

lørdag 7. november 2009

Modellus – tips til Fysikkundervisningen!

I Fysikk 1 og 2 i videregående skole er et av hovedområdene å kunne beskrive naturen med matematikk. For Fysikk 2 blir dette beskrevet slik:

Hovedområdet handler om hvordan matematikk blir brukt som språk i fysikk, ved bruk av vektorregning, differensialregning og integralregning. Matematikken som grunnlag for å modellere og gjøre beregninger ved hjelp av datamaskiner og vurdere modellers gyldighet er sentralt i hovedområdet.

Det er min erfaring at denne koblingen mellom matematikk og fysikk kan falle mange elever tungt. Det kan lett bli komplisert når vi skal beskrive naturen. I dette innlegget vil jeg ta et eksempel fra mekanikken og jeg vil se hvorda vi kan briuke programmet Modellus til å løse problemet.

Vi skal se på en partikkel som faller i tyngdefeltet. Denne gangen skal vi ikke se bort fra luftmotstanden, men sette opp en matematisk modell for denne. Det er to alternativer som peker seg ut. Det ene er et luftmotstanden L er proporsjonal med farten

$$ L=k\cdot v$$

Dette gir en god modell når farten en liten. Dersom dette ikke er tilfellet, så kan følgende være en bedre modell:

$$L=k\cdot v^2$$

Problemet med denne modellen er at den gir en komplisert ikke-lineær differensiallikning, mens den første gir en differensiallikning som elever i R2 når skal kunne løse. Det er her Modellus kommer inn. Dette programmet består av flere vinduer, ett hvor vi skriver inn modellen, et grafvindu, et tabellvindu og et tegnefelt.

image

I vinduet med den matematiske modellen skriver vi inn alt vi trenger. I dette tilfellet vi det si å sette opp Newtons 2. lov:

imagePå en måte vil jeg si at det er dette som er utfordringen sett fra en fysikklærers ståsted. Her må en passe på at en ikke bruker bevegelsesformlene som elevene har jobbet så mye med. Hvorfor? Fordi disse forutsetter konstant akselerasjon, noe som ikke er tilfelle her. En annen ting er at alle variabler må defineres. I modellen for luftmotstanden inngår farten v. Derfor må denne spesifiseres som den deriverte til s.  Videre må sammenhengen mellom fart og akselerasjon settes opp (siste likning). Dette er sammenhenger som programmet ikke kjenner til og som vi må mate inn.

Det fine med Modellus er at du kan teste modellen på et objekt i tegnefeltet. Nedenfor ser du en animasjon av en slik test av akkurat denne modellen. I dette tilfellet er k=0,1 og massen lik 10 kg.

luftmotstand

I følge denne modellen vil farten gå mot ca 31 m/s. Vi ser også at G og L etter hvert blir like store.

image

 

Under panseret ligger det masse numeriske beregninger som ville være alt for avanserte for en elev i videregående. Men selve modellene er innenfor det vi kan forvente av en elev å forstå.

mandag 12. oktober 2009

Digitale verktøy i matematikklæring…?

Med bærbar pc på pulten har elevene større tilgang på digitale hjelpemidler enn med en vanlig kalkulator. På vår skole bruker vi følgende programmer i undervisningen: Excel, GeoGebra og wxMaxima. Foruten disse har også elevene kalkulator – de fleste en grafisk kalkulator.

I dette blogginnlegget vil jeg reflektere litt over bruken av slike verkøtøyprogram i forhold til elevenes læring av matematikk. Jeg vil ta for meg programmet wxMaxima og se på noen eksempler som belyser ulike utfordringer knyttet til ulike oppgavetyper elevene jobber med.

wxMaxima er et symbolmanipulerende verktøy. Det innebærer at du med dette kan finne eksakte løsninger på ulike oppgaver. Vil du løse liknikngen $x^3-2x+1=0$? Ingen problem. Du skriver likningen inn i programmet og klikker på OK og vips så får du ut de tre eksakte røttene: $x=1,x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2} , x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$image 

Hva har så dette med matematikk å gjøre? Svaret er ganske enkelt: ingen ting! Men dette betyr ikke at slike digitale verktøy er meningsløse i matematikklæring. Tverrt om! Poenget er at slike verktøy ikke er hensiktsmessige i elevens matematikklæring når det gjelder slike typer oppgaver. Jeg bruker en hovedregel i min undervisning at før elevene får bruke slike digitale vertøy i deres arbeid med matematikken, så skal de først ha jobbet med fagstoffet for hånd. I videregående har vi nå todelt eksamen, så det vektlegges at elevene skal kunne løse ulike oppgaver uten hjelpemidler. Det er først når dette er på plass at de digitale vertøyene tilbys. Så da blir det naturlige spøsrmålet: hvorfor det? Hvofor i det hele tatt tilby elevene slike vertøy?

Vi kan dele bruke av IKT i matematikkfaget i to grove kategorier:

  1. IKT som forenkler. Vi kan bruke IKT til å fornkle ulike oppgaver slik at vi slipper å bruke så mye tid til tekniske detaljer.
  2. IKT til nyskaping. Vi kan bruke digitale vertøy til nye typer oppgaver på en måte som ikke er mulig uten digitale vertøy.

I R2 skal elevene regne ut vektorprodukt til vektorer i rommet. Dette er litt styr og det er lett å gjøre en slurvefeil. Formelen for et slik produkt er $ [u_1, u_2, u_3]\times [v_1, v_2, v_3 = [u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1]$

Her kan det regnes som en velsignelse å kunne skrive dette inn i wxMaxima og få svaret rett ut:

image Ut kommer svaret: $\vec{u}\times\vec{v}=[16, -14, 10]$.

Hva så med den andre kategorien? Kan det tenkes at vi kan bruke digitale vektøy på nye typer oppgaver til elevene? Dette er en stor utfordring for matematikklærere! Hvilke oppgaver passer til våre elever? Hvor finner vi de ulike oppgavene? Hvordan jobbe med elevene? Jeg ser at følgende oppgave ofte blir gitt når elevne skal bruke digitale verktøy på i matematikkunderviningen:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter. Velg to nullpunkt og la T være tangenten til f i x lik middelverdien til de to nullpunktene. Hva kan du si om denne tangenten?

Her er vi ute etter Lorents Bies setning som sier at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet.image 

Å oppdage denne sammenhengen er en ting. Dette synes jeg er lettest å gjøre i GeoGebra. Men å vise det generelt er en annen ting. Dette krever en annen form for matematisk kompetanse enn å løse ferdig oppstillte oppgaver. Ideelt sett er det en slik kompetanse vi vil at elevene skal få, ikke sant?  Men dette er lettere sagt enn gjort. Med fare for å ødelegge de som måtte få denne oppgaven, så viser jeg her hvordan jeg har løst oppgaven generelt ved hjelp av wxMaxima:

image

Her vil jeg si at vi får bruk for symbolmanipuleringen på en god måte. Resultatet er bevist. Vi har startet med et tredjegradsspolynom med tre nullpunkt a, b og c. Vi ha valgt to av nullpunkta (a og b) og vi har funnet tangenten i ((a+b)/2, f((a+b)/2)) og funnet nullpunktet til denne til å være c. Men å gjøre dette er langt i fra lett! Kan vi egentlig kreve dette av en elev i videregående skole?

Problemet dukket opp på eksamen i R1 i vår. På oppave 4, alternativ II fikk elevene en oppgave som dreiede seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

image

I de to eksemplene elevene jobbet med, går det fram at forholdet blir det samme, nemlig det gyldne snitt. Her kunne det være interessant å vise dette generelt, noe jeg har gjort i et tidligere blogginnlegg. Men i sensorveildeningen står det at dette ikke kreves for full uttelling. Hvorfor? Fordi det er å kreve for mye av elevene…

Hvorfor er det slik? Morten Blomhøj har i sin forsking identisfisert tre måter elevene bruker digitale verktøy:

  1. Den usikre og defensive elevvirksomheten
  2. Den løsningsoriterte elevvirksomheten
  3. Den reflekterende elevvirksomheten

Den første elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene kun har en instrumentell forståelse av ferdighetene jf likningen tidlig i dette blogginnlegget. Det klikkes og trykkes og ut kommer svara. Blomhøj skriver i artikkelen Læringsvilkår i datamskinbasert matematikkundervisning (i Matematikk for skolen, Barbro Grevholm red.):

Eleven fokuserer på å utvikle en instrumentell og prosessoirentert forsåelse, men de mangler ofte en grunnleggende forståelse av de matematiske objektene de arbeider med.

Den løsningsorienterte virksomeheten dreier seg om ytre forbindelser til det faglige innholdet i oppgavene. Her er det ikke forståelse som er viktig, men det å kunne klare å finne det rette svaret. Denne elevvirksomheten skiller seg ut fra den første ved at elevene er i stand til å formidle svarene sine på en faglig relevant måte. Her brukes IKT som forenkler.

Den reflekterte elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene vurdere ulike løsningsmetoder og er fleksible i forhold til disse. De driver med det som Schoenfeld kaller for monitoring. De overvåker sin egen løsniongsprosess og stiller seg selv spørsmål som: «Fører dette fram til svaret?» og «Hvorfor gjør vi dette? Finnes det en letter måte?»

Blomhøj skriver videre i sin artikkel:

Hvis undervisningen skal kunne støtte utvikloingen av en reflekterende elevvirksomhet, er det helt åpenbart nødvendig at elevene arbeider tilstrekkelig ofte med problemløsing, det vil si at de beskjeftiger seg med oppgaver som de er interessert i å løse, men som de ikke kan løse umiddelbart ved å bruke en metode som er velkjent for dem.

Dette er jeg hjertens enig i. Men jeg synes det er veldig vanskelig å få dette til i undervisningen. Det er to utfordringer som jeg spesielt vil nevne: den ene er problemet med å finne gode oppgaver som egner seg på de ulike trinn. Det må være oppgaver som passer til læreplan og fagstoff. Det er min erfaring at dette er noe som de fleste strever med. Den andre utfordringen er at dette vil nødvendigvis ta tid. Jeg kjenner pensumpresset er ganske stort i videregående skole og jeg skulle ønske at læreplangruppa hadde kuttet i hvertfall et hovedemne…

Blomhøj skriver at vi ikke har noen grunn til å forvente at innføring av datamskiner vil gi noen rasjonaliseringsgevinst i forhold til elevenes innlæring av det vanlige faglige innholdet. Men de vil lære seg å bruke digitale verktøy…

Hva er så konklusjonen på et litt lengre enn vanlig blogginnlegg? Å innføre digitale verktøy innebærer en didaktisk utfordring for læreren. Ved tradisjonelle oppgaver er det viktig å la elevene jobbe uten digitale vertøy for så å innføre vertøyene på et senere tidspunkt. Vi ønsker ikke at elevene kun skal ha en instrumentell forståelse, men vil ha refleksjoner og forståelse. Vi må kanskje tenke gjennom en gang til hva det vil si å ha en matematisk kompetanse…?!?

The funtheory – om å motivere til å samle boss

Dette har kanskje ikke så mye med skole å gjøre, men det er så artig at det bare må deles. Sjekk filmen under:

mandag 5. oktober 2009

Novemberkonferansen anbefales!

conorwithonen "Spin" på Flickr Dersom du underviser i matematikk, så er Matematikksenterets novemberkonferasnes en årlige happening som du bør vurdere å bli med på. I år er det sjette gangen at en slik konferanse arrangeres og jeg er så heldig at jeg har fått vært med på tre av dem så langt.

I år er temaet «Statistikk og sannsynlighet». Du finner programmet på http://www.matematikksenteret.no/novemberkonferansen/. Jeg har kikket litt på programmet, og det er flere kjente navn med internasjonal annerkjennelse i matematikdidaktikken. Jeg vil spesielt trekke fram Micheal Shaughnessy som har gjort mye forskning på elevers læring og forståelse av sannsynlighetsbegrepet. Det er også altid fornøyelig å høre på Bjørnar Alseth.

Konferansen er en herlig blanding av fellesforedrag, parallellseksjoner og presentasjoner i vrimlearealet.

I år er det mulig å søke om støtte til konferanseavgiften (2000 kr) for 1 lærer per skole. Søknad må sendes til matematikksenteret. Se nettsiden over.

tirsdag 29. september 2009

Å skrive matematikk – igjen…

Med fare for å fokusere for mye på den tekniske siden ved å skrive matematikk (det å skrive symboler med et digitalt verktøy), så vil jeg nok en gang skrive litt om temaet i dette innlegget. Grunnen er at jeg i dag fant ut at Google nå har gjort det mulig å sette inn ligninger i et google tekstdokument, som vist under.

image 

Når du skal sette inn en likning i et google tekstdokument, så får du opp følgende vindu:

image

Her ser du at en formel blir generert ved å skrive inn LaTeX-kode. Men fortvil ikke om dette virker rart for deg, for som du ser av bildet under, så er det egne menyer hvor du kan hente det du måtte trenge:

image

Skulle du ha MathType, så kan du også få dette programmet til å skrive LaTeX for deg, slik Kjemikeren viser i et blogginnlegg. Du kopierer da formlene i MathType og limer dem inn i kode-feltet i formeleditoren til Google.

Dette viser at LaTeX ikker er et program som er passé. Det er nå tre eksempler hvor elevene mine har fått bruk for LaTeX kode. Det ene er å skrive formler i Wikispaces. Her har faktisk to av elevene mine laget en egen side på wikien deres som viser hvordan dette fungerer. Det andre eksempelet er å skrive tekst og formler i GeoGebra. Skal du gjøre dette pent og fancy, så er LaTeX tingen. Dette er innebygd i GeoGebra. Nå har vi alts også LaTeX-kode for å skrive formler i google tekstdokumenter.

Apropos LaTeX. Det er stadig flere av elevene mine som har innstallert dette på sine pc-er. Dette er ikke noe jeg har lagt opp til, men har en misstanke om at jeg kanskje har sagt ett eller annet til dem om LaTeX. 

Nylig hadde vi en innlevering i matematikk R2. Det er aritig å se at elevene lager veldig flotte besvarelser med LaTeX. Jeg har fått lov av elevene til å legge ut deres besvarelser på bloggen. Her er det ikke bare layout som er bra, men også matematikken synes jeg de får bra til!

Bare for å vise at jeg ikke er helt fanatisk, så tar jeg også med en besvarelse gjort av en elev som brukte Word. Det er faktisk mulig å skrive god matematikk med dette programmet også…

For meg virker det som om noe elevene blir motivert av å skrive slike dokumenter på pc. Men det kan kanskje forklares ved at det er en god variasjon fra vanlig arbeid med blyant og papir og at det blir penere. Men elevene som har levert besvarelsene ovenfor kunne ikke tenke seg å levere digitalt på en eksamen. Til det tar skrivingen alt for lang tid. Dette har vært diskutert på andre blogger og min oppfatning er at slik eksamen er i dag i R1 og R2, så vil det være for mye å kreve digital innlevering. Men muligens jeg tar feil.

Dersom det er ønsker om en gjennomgang på denne bloggen av hvordan du setter opp LaTeX på en pc med Windows, så kan jeg gjøre det i et nytt innlegg.

P.S. Det går også an å skrive matematiske tekster rett inn i blogger:

$$ \qquad \text{e}^{i\pi} +1 =0 $$

Dette har jeg gjort ganske enkelt ved å skrive \text{e}^{i\pi} +1 =0 innfor to dollartegn. Men først måtte jeg legge til litt kode på bloggen. Se http://watchmath.com/vlog/?p=438 hvordan dette gjøres.

torsdag 24. september 2009

IKT-patruljen kommer på besøk

Nye pc-er og tilgang til nettet hele skoledagen kan være fint, men byr også på en del utfordringer for elevene. Som skole har vi et ansvar for å sikre at elevene får kunnskap og kompetanse i bruk av pc, nettsøk, nettetikk etc. Men hvem skal holde slike kurs? Hvordan få en god dialog med elevene? På Stord vidaregåande skole har vi funnet ut at det kan fungere bra med elev til elev kommunikasjon. Elevene på Vg2 IKT-servicefag lager en IKT-patrulje som rykker ut til alle klasser som vil ha besøk og som har fått nye pc-er. Dette er motiverende og lærerikt for alle parter, og så langt har elevene på IKT-servicefag fått veldig gode tilbakemeldinger. Det er lærerne Frode Fjellanger og Anne Kristin Eldøy på IKT-servicefag som hjelper elevene i gang og administrerer bestillingene fra de ulike klassene. Frode er også eKoordinator på Stord. Elevene på IKT-servicefag har gjort en kjempeinnsats i gjennomføringen av opplegget, det er en stor utfordring så tidlig i skoleåret å dra ut på en slik turne med foredrag.

Ivrige elever kurser ivrige elever

Det er kontaktlærer i de ulike klassene som bestiller IKT-patruljen. Når en gruppe elever får et slikt besøk, blir elevene også meldt inn i et eget fag på IT’s Learning. Så langt i år har 13 klasser med ca 240 elever fått et slikt kurs, og det er tredje året klassene har tilbud om opplegget.

Når en klasse får besøk av IKT-patruljen, gjennomgår de alle først en anonym undersøkelse som omhandler elevenes databruk og hvordan de vurderer sin egen digitale kompetanse. Så får de en kort gjennomgang av funksjonene på årets elevmaskin. Etter dette holder elevene et foredrag der noen av temaene er:

  • Vedlikehold
  • Datatrygghet
  • Skolens datasystem med vekt på Skolearena og det eleven har ansvar for å følge opp her.
  • Nettvett
  • Litt om effektiv databruk

De bruker også ressurser og filmer fra http://www.dubestemmer.no/ og http://www.nettvett.no/ Etter denne gjennomgangen får de en sluttest og til slutt informasjon om brukerstøtten på skolen. Hele opplegget tar ca 70 minutter som da er en økt ved skolen vår.

Her finner du presentasjonen elevene har laget.

mandag 21. september 2009

Office 2007 og klassiske menyer

På min bærbare pc på jobb har jeg fått Office 2007. Dette er helt ok synes jeg og etter hvert er jeg blitt fornøyd med denne versjonen av MS Office. Men det har blitt et lite problem med denne versjonen når jeg skal kurse andre i  et Office-program og kursdeltakerne har Office 2003 (slik som f.eks. elevene på skolen jeg jobber).

I den forbindelse har jeg funnet et tillegg til Office 2007 som gjør at du får tilbake de gamle menyene. Du finner tillegget på http://in.geocities.com/shahshaileshs/menuaddins.htm. Når du har fått installert dette tillegget (følg instruksjonene på nettsiden), så kan du lett få fram de klassiske menyene ved å klikke på Tillegg i menyen. Merk at det kan være en fordel å slå av Ribbon (dette nye båndet av menyer som er i Office 2007). Det gjør du ved å klikke tastekombinasjonen Ctrl+F1.

image

Merk at du finner menyene under Tillegg.

tirsdag 15. september 2009

Scrapbook – et nyttig tillegg til Firefox

Dersom du ikke bruker nettleseren Firefox, så vil jeg her gi deg et godt argument for å prøve denne nettleseren. Det fins mange gode tillegg til Firefox, men for de som bruker digitale læreverk (les: NDLA), så er Scrapbook uunværlig.

Kort fortalt så går Scrapbook for Firefox ut på at du kan laste ned sider fra nettet med lenker, bilder etc. slik at du har dem lokalt på maskinen din. Når dette er gjort kan du kommentere og markere i teksten og lagre dette til senere bruk.

Dersom du bruker NDLA i f.eks. naturfag, så kan du be Scrapbook om å laste ned sider tilhørende hvert hovedområde. Når du gjør det får du ulike valg som vist på bildet under. Det kan være lurt å vurdere hvor mange nivå lenkene skal gå i. Haker du av for to nivå (som vist under) vil du laste ned alle sider som det er lenker til på gjeldende side (nivå 1) og alle sider som disse igjen lenker til (nivå 2). På den måten får du alt du trenger med deg. I dette tilfellet er det nok med ett nivå.

image

Når du så klikker capture, så vil sidene bli lastet ned. Dette kan ta litt tid dersom det er mange lenker:

image

Når denne jobben er gjort, så kan du åpne siden lokalt ved å klikke på ScrapBook og velge NDLA:

image

Du vil da åpne siden som er lagret på din pc. Dette går klart fram av adressefeltet i nettleseren:

image

Når du åpner denne siden kan du også gjøre kommentarer og markere teksten. Verktøyene for dette finner du neders til høyre i Firefox:

image

Husk å trykke på lagreknappen neders til høyre når du er ferdig!

Høres dette interessant ut?

tirsdag 1. september 2009

Synkronisering og backup av filer…

Det er sjeldent jeg tar med hjem pc-en jeg bruker på jobb – til det har jeg alt for god pc hjemme :-) . Det har derfor vært et problem å holde orden på alle filene jeg jobber med. Hva er siste versjon og hvor ligger hva?

Tidligere pleide jeg å sende de ulike filene  jeg trengte som vedlegg i en epost som jeg sendte til meg selv. Tungvidnt ikke sant? Jeg bare måtte finne en bedre løsning! Så oppdaget jeg SyncToy 2.0 fra Microsoft. Med dette verktøyet oppretter du par av mapper som du så kan synkronisere mot hverandre. På jobb-pcen opprettet jeg derfor et par bestående av en mappe jeg ville ha både hjemme og på jobb og tilsvarende mappe på en minnepenn. Så er det bare til å kjøre SyncToy før jeg gikk hjem. Med tilsvarende oppsett på min private pc, så var det bare å stikke usb-pennen i pc-en når jeg kom hjem og kjøre SycToy. Ikke så dumt!

image

Et annet program som jeg også har brukt en del er Dropbox. Jeg har i et tidligere innlegg  skrevet om dette programmet. Dette  gir det 2 GB med lagringsplass på en server som igjen synkroniserer mot de ulike pc-ene som har innstallert dropbox. En utmerket tjeneste! Problemet er bare at dette programmet kan kreve at du setter opp nettverkskoplingen skikkelig for å komme igjennom brannmuren (slik som der hvor jeg jobber…).

Nå har jeg begynt å bruke en anne tjeneste, nemlig Live Mesh fra Microsoft. Her får du 5GB med gratis lagringsplass som du kan synkronisere med ulike enheter som du melder inn. Når du har lagt til en enhet kan du legge til hvilke mapper som skal synkroniseres.

image

Jeg har valgt å synkonisere mappen Fag. Her ligger dokumenter som jeg har jobbet med innenfor alle fagene jeg har eller har hatt. På nettsiden til mech-et ser det slik ut:

image image

Som du kan se, får du en egen utforsker i nettleseren. Fint om du er på en maskin som ikke har installert LiveMesh! Men på mine pc-er trenger jeg kun å jobbe med dokumenter i Fag-mappen uten å tenke på synkroniseringen! Det tar LiveMesh seg av! Som du kan se på bildet under, så har Fag-mappen fått et blått ikon som indikerer at den er lagt til LiveMesh!

image

Dersom jeg åpner selve mappen, vil jeg få en liten stolpe til høyre for vinduet som viser meg status for mappen, hvilke enheter den er lagt til og hvem jeg deler den med. Sistnevnte liker jeg veldig godt! Jeg kan gi andre tilgang til mappen. Fint om vi skal samarbeide om noe!

image Mens jeg jobber vil altså Live Mesh jobbe i bakgrunnen med synkronsieringen. Dette tar litt ressurser, men ikke verre enn at jeg kan leve med det!

Så langt vil jeg holde meg til både dropbox og Live Mesh. Sistnevnte bruker jeg til synkronisering, mens dropbox brukes som en web-server. Du får nemlig en offentlig mappe som alle kan lese fra, og det er fint om du har større dokumenter som du vil dele! image

Høyreklikker du på filer i denne mappen, så får du følgende opp:

image

Du vil da få tilgang til lenken til dokumentet, som du kan legge ut til de som måtte ønske det.

fredag 21. august 2009

Helvetica

I avisa Vårt Land var det for noen uker siden en innsender som lurte på hvorfor en bibelen.no kunne bruke en å djevelsk skrift som helvetica. Innsenderen visste naturligvis ikke at dette er det latinske navnet på en region i Sveits og at en fonten bærer sitt navn fra denne regionen. Den har altså ingen ting med det som vi på norsk kaller helvete. Helvetica er faktisk en meget stilren og vakker font. Nedenfor er en del av en artig kommentar om fonten sendt på NRK for et år tid siden (eller noe sånnt).

mandag 17. august 2009

Nytt skoleår, nye planer…

Ferien er over og jeg ser fram til et nytt skoleår. I dette blogginnlegget vil jeg dele noen av mine tanker om planlegging av skoleåret. Det er mye som skal på plass og det er mange ressurser som kan hjelpe oss. Men hvor finner vi dem? Hvilke nettsider bør vi sjekke?

I følgende innlegg vil jeg bruke matematikk R1 som eksempel.

Det første jeg gjør ved når et nytt år starter er å sette opp faget mitt i It’s Learning. For at det skal være oversiktlig for elever og lærer, så bør det være en viss struktur. Jeg lager en del mapper som jeg putter ulike dokumenter og liknende i. Min mappestruktur ser slik ut:

image Øverst i mappestrukturen har jeg puttet Fagstoff. Dette har jeg ordnet etter kapittlene i læreboka som elevene bruker. Her legger jeg ut diverse dokumenter som presentrasjoner, oppgaver, løsningsforslag til prøver og arbeidsoppgaver, animasjoner etc.

Neste mappe er Planer. Her legger jeg inn en årplan og arbeidsplanene elevene får underveis. Førstnevnte gir en skisse over hvordan progresjonen i faget legges opp og hvilke læreplanmål som blir jobbet. Her er planen jeg brukte i fjor. Denne laget jeg med stor hjelp fra LOKUS.

Arbeidsplanene lager jeg som google-dokumenter. Dette gjør jeg fordi jeg lett vil kunne redigere dem uten å måtte logge inn på ITSL. Jeg synes også at ITSL har en litt tungvindt tekseditor… Her er et eksempel på en arbeidsplan. En arbeidsplan bør inneholde en progresjonsplan på ukenivå med tema, pensum, oppgaver etc. Den bør også inneholde kompetansemål og vurderingskriterier/kjennetegn på måloppnåelse.

Som du kan se av planen min, så har jeg gjort et forsøk på å lage kjennetegn på måloppnåelse. Dette er noe som jeg selvsagt ikke kan gjøre de to første dagene av skoleåret. Så disse lager jeg underveis.

Lenker som er aktuelle i planleggingen av matematikk:

I dag var første planleggingsdag på vår skole. Denne gikk med til informasjon og litt samarbeid i seksjonen. I morgen starter planlegginngen av min egen undervisning. I år skal jeg undervise i R2 og Fysikk 1 foruten å være ePedagog for Sunnhordland.

onsdag 5. august 2009

Nytt skoleår på bloggen

Ferien går mot slutten og jeg ser fram til et nytt år i videregående skole. Blogging er begynt å bli en slags vane for meg nå. Jeg finner det ganske givende å sette ord på mine erfaringer og tanker om undervisning. På denne bloggen prøver jeg å holde meg 100 prosent til tema relatert til min jobb som lærer. Du finner derfor lite om mine andre interesser på denne bloggen, og slik synes jeg det skal være.

Jeg har under laget en liten spørreundersøkelse ved hjelp av skjema i Google docs. Denne har jeg laget fordi jeg er nysgjerrig på hva leserne av denne bloggen er interessert i å lese om. - Fint om du svarer på undersøkelsen!

søndag 2. august 2009

Noe å lese i regnet

Reading at the beach, av Joseph Robertson på Flickr. Lisens: CC by-nc-sa Det fins mange gode bøker å lese, også innenfor matematikk. Ferien går mot slutten, men for oss lærere er det fremdeles to uker igjen. Dersom du begynner å kjede deg, så vil jeg her komme med noen bokanbefalinger.

En forfatter jeg vil anbefale på det sterkeset er William Dunham. Han er en mester i å skrive om matematikk på en lett tilgjengelig måte. Det er det mange som klarer, men Dunham klarer det på en interessant måte. Du lærer faktisk matematikk av å lese bøkene hans. Alt er skrevet i et historisk perspektiv og nivået er slik at en flink elev på videregående skal kunne lese bøkene med stort utbytte. Jeg anbefaler at du starter med Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. I denne boken tar Dunham gir Dunham oss en del glimt fra matematikkens historie. En del viktige teoremer blir satt i sin historiske sammenheng og vi blir også ledet gjennom ideene til bevisene. Dersom du liker matematikk, så vil du digge denne boken! To andre bøker som jeg også vil anbefale av Dunham er Euler: The Master of Us All og The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Jeg har i et tidligere innlegg skrevet om sistnevnte bok.

En anne forfatter som anbefales er Eli Maor. Han har skrevet en meget interessant bok om Pytagoras setning (The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History). Noe å tenke på for de som skal undervise i R1… e: The Story of a Number anbefales også!

John Derbyshire har også skrevet noen bøker som anbefales. Disse er muligens litt mer tekniske, men likevel reltativt lettleste. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics handler om Riemann-hypotesen og gir en grei innføring i hva denne går ut på. Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra er også en god bok. Denne handler om algebraens historie. Skulle ønske jeg leste denne da jeg begynte på hovedfaget mitt!

søndag 19. juli 2009

To filmer om fonter

Det er en kjent sak at ulike fonter tjerner ulike formål. Her er to filmer som viser dette på en god måte. Jeg ble gjort oppmerksom på disse via Presentaion Zen.

Typefaces give us signals from erik spiekermann on Vimeo.



Denne filmer er bassert på originalen laget for ca 25 år siden:




Erik Spierkermann er en kjent fontdesigner. Berliner grotesque er et eksempel på en font han har designet.

onsdag 15. juli 2009

Stward Brand proclaims 4 environmental 'heresies'

Denne TED-talken bare må deles. Du vil få en artig overraskelse noen minutter ut i foredraget (ca 6 minutt ut i foredraget).

tirsdag 14. juli 2009

Tyrkia 2009

Vi har nettopp kommet hjem fra en herlig ferie i Tyrkia. Det er nå sjette gangen vi har vært i dette flotte landet. Stort sett blir det late dager ved bassenget eller på stranden og restaurantbesøk på kvelden. I år reiste vi via London og sparte ca 5000 kroner på dette sammenliknet med å reise fra Haugesund, Bergen eller Stavanger. Nok om det! Det jeg vil trekke fram her er noe jeg la merke til på 10-er sedlene deres:

10lire

Bildet på seddelen er av den tyrkiske matematikerene Cahit Arf (1910 – 1997). Arf er kjent for invarianten oppkalt etter ham, Arf-invarianten. Du ser et uttrykk for denne på seddelen over. Denne invarianten forteller oss om en knute er pass-ekvivalent med den trivielle knuten (som i en strikk) eller kløverknuten:image I det første tilfellet er summen på seddelen lik 0 i Z2 og i det siste tilfellet 1. For å avgjøre om en knute er pass-ekvivalent med den trivielle eller kløverknuten, så må vi beregne visse kvadratiske former til hololgi-gruppen til en flate svarende til knuten (en såkalt seifert-flate). Arf-invarianten kan også beregenes ut fra Aleksanderpolynomet for knuten. Les mer her.

Artig å se andre sider ved Tyrkia en kun basarer, svømmebasseng, billige kopiklær og dolmuser!

Tyrkia2009 110



Dersom du vil få litt tyrkisk stemning, så klikk på play!