Pages

tirsdag 8. mars 2011

Integrasjonsbegrepet

Vi jobber med integrasjon og har denne uken sett på omdreiingslegemer. Det vil si at vi har rotert grafen til en funksjon om x-aksen og så beregnet volumet av dette ved å dele opp volumet i disker med radius lik tex:[[f%28x%29]] og tykkelse dx. Volumet blir da

tex:[[V%3D%5Cpi%5Cint_a%5Eb%20%28f%28x%29%29%5E2%20%5C%2Cdx]]

Dette er standard pensum i R2 og det er ikke dette jeg vil skrive om her. Jeg liker å slenge litt ut med ekstra utfordringer til elevene og det gjorde jeg også denne gang. Her er oppgaven:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius R og indre radius r (som vist på figuren under)

image

 

En måte å løse denne oppgaven på er å finne en (eller flere) funksjoner som vi kan rotere om x-aksen. I dette tilfellet kan vi rotere øvre og nedre del av sirkelen som vist på figuren under:

 

image

 

Det vil si at vi først roterer den øvre (røde) halvsirkelen og deretter den nedre (blåe) halvsirkelen. Volumet av torusen blir da differansen til disse.

Det vil si at

tex:[[V_1%3D%5Cpi%5Ccdot%20%5Cint_%7B-r%7D%5Er%20%28R-r%2B%5Csqrt%7Br%5E2-x%5E2%7D%29%5E2%20dx]] 

og

tex:[[V_2%20%3D%20%5Cpi%5Ccdot%20%5Cint_%7B-r%7D%5Er%20%28R-r-%5Csqrt%7Br%5E2-x%5E2%7D%29%5E2%20dx%20%0D%0A]]

 

Det er vel unødvendig å si at disse integralene kan være vanskelige og til dels tekniske å løse og det er vel derfor vi har CAS-verktøy!? Jeg bruker her wxMaxima og gjør følgende utregninger:

image

Altså ser vi at volumet av torusen er tex:[[2%5Cpi%5E2%5Ccdot%20r%5E2%28R-r%29]].

 

Vakkert? Kanskje det, men bare vent til du får se hva en av elevene kom opp med. I stedet for å gå rett løs på teknikken (slik jeg gjorde i mitt hode), så hadde denne eleven forstått selve integrasjonsbegrepet ganske godt. Så her er hvordan han tenkte:

Vi kan kutte torusen opp i mange små biter som tilnærmet blir sylindre.

 

image

Dersom vi snur annen hver av disse «kakestykkene» får vi noe som likner på følgende figur:

image

Figuren kan være noe missvisende, siden dette ikke er et todimensjonalt objekt, men noe som likner på  en syliner med radius r.  Deler vi opp i stadig flere slike, så vil det bli mer og mer lik en sylinder. I grensen vil det bli likhet. Hva er så høyden i denne sylinderen? Siden begge sidene nå er like lange, så blir det midt mellom ytre og indre omkrets i torusen. Den ytre omkretsen er

tex:[[2%5Cpi%20R%0D%0A]] og den indre omkretsen ertex:[[%202%5Cpi%28R-2r%29]]. Meidt mellom disse er da tex:[[2%5Cpi%28R-r%29]]. Volumet blir derfortex:[[%20V%3DG%5Ccdot%20h%20%3D%20%5Cpi%20r%5E2%5Ccdot%202%5Cpi%28R-r%29%3D%5Cpi%5E2%5Ccdot%20r%5E2%28R-r%29]]. Altså det samme som vi fant ved hjelp av wxMaxima.

 

Kult ikke sant!

10 kommentarer:

  1. Den siste løsningen er en virkelig perle.

    SvarSlett
  2. He he, skikkelig fin og kreativ løsning av eleven. Takk for at du deler den.

    (matematikklærer TRYVIS)

    SvarSlett
  3. Hei, det må vel være lettere å tenke seg at man deler torusen og retter den ut til en sylinder med en liten og en stor høyde. Gjennomsnittshøyden i sylinderen blir avstanden til senter av torusen (R-r) gange 2pi. Ved å gange med pi r^2 til slutt har man riktig formel for volumet av en torus.

    SvarSlett
  4. Men om du får en stor og liten høyde avhenger av hvor mange biter du deler torusen opp i. Deler du den i et partall antall biter, vil de to høydene bli like store.

    Men ellers er det rett resonert at gjennomsnittshøyden som skal brukes og at denne er er 2\pi(R-r).

    SvarSlett
  5. Hei, torusen er fremdeles i kun en bit, du har bare rettet den ut til en sylinder. Grunnflaten i sylinderen er tverrsnittet til torusen, den store høyden i sylinderen er den ytre omkretsen og den lille høyden i sylinderen er den indre omkretsen. Dette er forøvrig Pappus's teorem anvendt på torusen, et teorem som er veldig nyttig for omdreiningslegemer. Sjekk forøvrig http://en.wikipedia.org/wiki/Torus , der argumenterer de helt likt i utledningen av volumet.

    Hilsen Ola (også mattelærer)

    SvarSlett
  6. Hei igjen. Jeg synes det er litt skummelt å bare rette ut en figur, siden dette vil innebære en deformasjon og således også eventuelt en endring av volumet. Skal vi rette den ut, så må vi gjøre det på en bestemt måte. Men når vi kutter den i små biter og sette dem sammen igjen, slik som eleven gjorde, så går det bra. Men vær obs på at vi ikke kan kutte den på hvilken som helst måte. Men her er alle like store, så da går dette bra. Det er faktisk mulig å kutte opp et volum i små biter og sette dem sammen igjen til ett legeme (uten hull i) og få et hvilket som helst volum. Det er jo litt fascinerende!

    Takker for tipset om Pappus teorem.

    SvarSlett
  7. Jeg er enig i det, det skjer litt mer enn at du retter den ut. Men du kan altså tenke slik for omdreiningslegemer ihht Pappus. Dette kan du gjøre for en hvilken som helst flate som du dreier rundt en akse. Problemet blir bare å finne sentroiden til flaten, men for en sirkel er det jo greit. Og for andre grunnleggende former som rektangler, trekanter osv.
    Du har forøvrig en interessant blog som jeg kommer til å følge med på framover!

    Ola

    SvarSlett
  8. Noen som vet hvordan tegne omdreiningslegemer i Geogebra?

    SvarSlett
  9. Kan hende jeg er litt blank, men hvor fikk du utrykket for f(x) fra? sto det i oppg. eller?

    SvarSlett
  10. Uttrykket for f(x) finner du ut fra ligningen til en sirkel med sentrum i (0, r-R) og radius r.

    SvarSlett

Kommentarer