Underviste R1 dette skoleåret. Lurer på følgende: Hva betyr det å "kunne gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet"? De presise definisjonene er ganske tekniske, og alle forenklinger er jo gale (i det minste upresise), så jeg synes det er vanskelig å finne passe forklaringer.
Hva skal en R1-elev svare på spørsmålet: Hva mener vi med at grenseverdien for en funksjon f(x) er 3 når x går mot 2?
Det er åpenbart at en elev skal kunne gjøre rede for dette, men knapt noe han kan si er matematisk holdbart.
Ser at du hopper over denne problematikken i vurderingskriteriene dine.
La oss ta grenseverdi. Det er riktig som du sier, at dette ikke blir gjort i Weierstass' ånd i videregående skole, og det ville vell være å gå for langt.
I R1 kan vi kanskje forvente at en elev på (veldig) høyt nivå kan si noe om at at du kan få funksjonsverdiene til å bli så nær du vil grenseverdien, bare x er nær nok a. Dette er hva en veldig flink elev kan forventes å forklare. Men de fleste elevene vil ha en dynamisk forståelse av grensebegrepet (slik Newton, Leibniz og de fleste før Cauchy/Weierstrass) av grensebegrepet. Det vil si at f(x) vil bli nærmere og nærmere grensenverdiem, når x nærmer seg a (uten å bli lik a).
Jeg skriver ikke dette direkte i vurderingskriteriene, for da vil de bli alt for detaljerte (etter min mening). Men jeg skriver generelt om forklaring og argumentering.
En elev på middels nivå kan klare å forklare begrepet på en litt mindre presis måte. Kanskje grafisk?
Men du har rett i at dette er litt problematisk. Hva vil det si å ha lav kompetanse her?
Dette er en av grunnen til at jeg har slått sammen mange kompetansemål når jeg prøver å beskrive kjennetegn på måloppnåelse. Elevene er så forskjellige. Noen er flinke i forklaring og argumentering, mens andre er vedlig flinke i symbol- og formalisme. Noen er best i problemløsning...
Det er her vi ikke kan forkaste skjønn (selv om udir vil at vi ikke skal bruke skjønn, men at alt skal være kriteriebassert).
Selv valgte jeg å undervise de presise definisjonene (epsilon-delta) og forklarte dem så godt jeg kunne innenfor rimelig tidsramme. Dette av blant annet følgende grunner:
1. Et formål med programfaget er å kvalifisere elever til studier på universitet og høyskole. Til eksamen i begynnerkurset ved UiO har det blitt gitt epsilon-delta-bevis, hvilket betyr at man skal kunne gjennomføre enkle beviser med Weierstrass teknikker et halvt år etter at man er ferdig på videregående. Da kan det vel ikke være for tidlig å snuse forsiktig på disse definisjonene halvannet år i forveien. Har undervist begynnerstudenter i mange år, og har alltid tenkt at studentene burde ha møtt disse definisjonene tidligere, slik at overgangen til høyere matematikk blir litt lettere.
2. Elevene skal trenes i logisk og analytisk tankegang. Det gjennomgås bevisteknikker, og det føres bevis for en del setninger i læreboka. Straks det kommer til funksjoner så skal tydeligvis all presisjon forkastes, og man skal ha en ren praktisk og "grafisk" tilnærming til alle begreper og regneregler. Det blir inkonsekvent.
3. Jeg var selv veldig misfornøyd med å få presentert grenseverdisetningene uten bevis da jeg gikk på videregående skole. Flere har det på samme måten.
4. Det skader ikke 17-åringer å møte definisjoner som yter litt motstand. Det er sunt å bryne seg på setninger som må leses gang på gang før de gir mening.
5. Synes det gjør vondt å fortelle elevene noe galt mot bedre vitende. Da legger jeg heller frem sannheten, så får elevene forholde seg til den.
6. Enhver sensor til muntlig eksamen vil få gåsehud på tennene av kandidater som turnerer disse begrepene presist.
7. Ved å fokusere på de korrekte begrepene kan man lede elevene i riktig retning av en total forståelse av begrepet. Elever som tror de forstår begrepene, men har misforstått, vil få en tøffere oppgave med å forstå de riktige definisjonene senere når de ikke passer med deres gale begreper.
I min klasse ble resultatet slik:
Mange av elevene syntes dette var artig og utfordrende. ("Jeg leser notatet ditt gang på gang og hver gang kommer jeg noen setninger videre...")
Halvparten kunne formulere helt presise definisjoner av grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet.
4-5 elever forsto og kunne forklare og i noen grad besvare spørsmål til alle disse definisjonene, men ikke bruke dem selv til å avgjøre om funksjoner er kontinuerlige. (dette var en vanlig R1-klasse).
Sannsynligvis er en del av elevene helt blanke på disse begrepene, men jeg synes det er bedre enn at de sitter med en gal forståelse (som at rasjonale funksjoner har diskontinuiteter eller at funksjoner med sammenhengende grafer er kontinuerlige).
@Olav Jeg er enig med deg i at elevene ikke har vondt av utfordringer -- også når det gjelder den formelle siden ved faget. Men jeg har på følelsen av at dette kan bli litt for mye for litt for mange. Jeg er ikke enig i at vi lærer elevene noe galt når vi ikke bruker epsilon-delta-definisjon av grenser og kontinuitet. Vi har bare ikke et så godt presisjonsnivå. Dette gjelder for ganske mye av det vi jobber med i videregående. Tenk bare på hvordan vi jobber med irrasjonale tall. Disse er aldri definert/konstruer skikkelig for elevene, men er bare noe som er der på tallinja. Men senere vil de møte kompletthet og eventuelt Dedekin-cuts.
Det som er viktig synes jeg, er at vi forteller elevene at det er mulig å gjøre dette mer presist. Da skal du være sikker på at de aller flinkeste vil bli pirret til å spørre hvordan. Og da er det bare til å sette i gang!
En del elever har veldig godt av å få se at matematikken går dypere enn oppgavene i boken. Min personlige kjepphest er definisjonene av vektorer. For å tilfredsstille fysikkfaget sier Aschehougboken (og sikkert mange andre) at det er: "en størrelse med retning". En liten smakebit, som at tallene våre også er vektorer, det finnes vektorer med uendelig mange dimensjoner, funksjoner kan være vektorer osv er tankevekkende.
Jeg ville nok ikke ha gått i gang med epsilon-delta i samlet klasse, men det hadde vært fint å sende interesserte elever i retning av et slikt hefte. Ønsket om deling tiltredes.
Vi skal nå lage konkretiseringer/kriterier i R1. Beklager at jeg ikke hadde synspunkter i fjor, men fokus ligger som regel på det som brenner akkurat nå. I tillegg ble mitt forhold til kriteriumsbasert vurdering ødelagt av sensorskolering, der vi ble fløyet til Oslo for å ha lange foredrag og gruppearbeid om dette. Siden kom sensorveiledning med anbefalt poengskala og på fellessensuren var det ikke en rubrikk i sikte.
Fungerte det å nesten ikke ha konkrete kriterier på "Høy måloppnåelse", bare med krav til stringens, kreativitet og evne til å løse sammensatte oppgaver? Var det opplagt for elevene hva som er enkle og sammensatte oppgaver? Opplevde du disse kriteriene som gode å vurdere ut fra? Var det konkret og målbart?
Min erfaring med vurderingskriterier så langt er at det skjerper *meg* som lærer når jeg lager oppgaver. De får meg til å stille spørsmål om jeg har laget oppgaver som tester på alle nivå.
Når det gjelder elevene, så har jeg gode erfaringer med at slike kriterier skjerper elevene når de skal besvare oppgaver. De blir gjort obs på at de må argumentere og forklare for å få f.eks. karakteren 5. Kriteriene er muligens litt vage, men de funker ok sammen med konkretisering på oppgavenivå. Dvs at jeg som lærer går gjennom ulike oppgaver og viser eksempler på tenkte elevbesvarelser.
Begrepet sammensatt oppgave er kanskje litt vel vag. Det jeg mener er problemløsningsoppgaver der det skal mer til enn bare å løse oppgaven i ett steg dersom de kommer på en eller annen teknikk. De skal med andre ord være relativt gode problemløsere. Men her kommer selvsagt problemet: hva ligger i ordet "relativ" her? Slik jeg ser det, så er det tradisjoner og skolekultur som styrer dette. Dersom vi blir for konkrete, så blir det for mye informasjon. Da er det bedre å gjøre det på oppgavenivå. Det er noe liknende de har gjort i Danmark: Fagsiden til matematik stx/hf [25]
Hei, kult at du har laget kriterier, men jeg lurer på hvor du etterspør refleksivitet og kritikk. Ut fra kriteriene ser det ut til at fagene er helt unntatt relevans for samfunnet?
Altså, ikke i betydningen "praktiske anvendelser i samfunnet", men drøftinger av hvilken rolle modeller for eksempel, spiller i samfunnet, jf den generelle delen av læreplanen:
"Disse ferdighetene skal gi elevene en nøkkel til å forstå og analysere viktige samfunnsproblemer. Matematikken blir på den måten et hjelpemiddel både innenfor økonomi og på samfunnsområder som helse, miljø og globalisering. Programfaget har derfor både et nytteperspektiv og et dannelsesperspektiv i sitt formål."
@Per Christian: Det er interessant dette. Når jeg laget kriteriene, så gikk jeg ut fra prinsippet om at det er kompetansemålene og hvordan disse målene blir oppnådd som skal bestemme hvilken karakter eleven skal få. Jeg ser ikke noen motsetninger med dette og det du har hentet fra beskrivelsen av de generelle ferdighetene. Elevene skal kunne lage og vurdere matematiske modeller. Dette er tatt med i kriteriene og vil dekke inn denne generelle beskrivelsen.
Vi har faktisk ikke anledning til å lage kriterier ut fra generelle del av læreplanen. Alle kriteriene skal være for kompetansemål.
Jeg forstår, men etter mitt skjønn er dette uttrykk for et viktig problem: Dersom intensjonene i den generelle delen av læreplanen ikke reflekteres i kompetansemålene, hvorfor skal da læreren ta hensyn til dem?
R1 og S2 -- jeg trodde først det var Serres kriterium for normalitet :-)
SvarSlettArtig! Husker det var det siste jeg ble spurt i på eksamen i M221!
SvarSlettUnderviste R1 dette skoleåret. Lurer på følgende: Hva betyr det å "kunne gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet"? De presise definisjonene er ganske tekniske, og alle forenklinger er jo gale (i det minste upresise), så jeg synes det er vanskelig å finne passe forklaringer.
SvarSlettHva skal en R1-elev svare på spørsmålet: Hva mener vi med at grenseverdien for en funksjon f(x) er 3 når x går mot 2?
Det er åpenbart at en elev skal kunne gjøre rede for dette, men knapt noe han kan si er matematisk holdbart.
Ser at du hopper over denne problematikken i vurderingskriteriene dine.
La oss ta grenseverdi. Det er riktig som du sier, at dette ikke blir gjort i Weierstass' ånd i videregående skole, og det ville vell være å gå for langt.
SvarSlettI R1 kan vi kanskje forvente at en elev på (veldig) høyt nivå kan si noe om at at du kan få funksjonsverdiene til å bli så nær du vil grenseverdien, bare x er nær nok a. Dette er hva en veldig flink elev kan forventes å forklare. Men de fleste elevene vil ha en dynamisk forståelse av grensebegrepet (slik Newton, Leibniz og de fleste før Cauchy/Weierstrass) av grensebegrepet. Det vil si at f(x) vil bli nærmere og nærmere grensenverdiem, når x nærmer seg a (uten å bli lik a).
Jeg skriver ikke dette direkte i vurderingskriteriene, for da vil de bli alt for detaljerte (etter min mening). Men jeg skriver generelt om forklaring og argumentering.
En elev på middels nivå kan klare å forklare begrepet på en litt mindre presis måte. Kanskje grafisk?
Men du har rett i at dette er litt problematisk. Hva vil det si å ha lav kompetanse her?
Dette er en av grunnen til at jeg har slått sammen mange kompetansemål når jeg prøver å beskrive kjennetegn på måloppnåelse. Elevene er så forskjellige. Noen er flinke i forklaring og argumentering, mens andre er vedlig flinke i symbol- og formalisme. Noen er best i problemløsning...
Det er her vi ikke kan forkaste skjønn (selv om udir vil at vi ikke skal bruke skjønn, men at alt skal være kriteriebassert).
Selv valgte jeg å undervise de presise definisjonene (epsilon-delta) og forklarte dem så godt jeg kunne innenfor rimelig tidsramme. Dette av blant annet følgende grunner:
SvarSlett1. Et formål med programfaget er å kvalifisere elever til studier på universitet og høyskole. Til eksamen i begynnerkurset ved UiO har det blitt gitt epsilon-delta-bevis, hvilket betyr at man skal kunne gjennomføre enkle beviser med Weierstrass teknikker et halvt år etter at man er ferdig på videregående. Da kan det vel ikke være for tidlig å snuse forsiktig på disse definisjonene halvannet år i forveien. Har undervist begynnerstudenter i mange år, og har alltid tenkt at studentene burde ha møtt disse definisjonene tidligere, slik at overgangen til høyere matematikk blir litt lettere.
2. Elevene skal trenes i logisk og analytisk tankegang. Det gjennomgås bevisteknikker, og det føres bevis for en del setninger i læreboka. Straks det kommer til funksjoner så skal tydeligvis all presisjon forkastes, og man skal ha en ren praktisk og "grafisk" tilnærming til alle begreper og regneregler. Det blir inkonsekvent.
3. Jeg var selv veldig misfornøyd med å få presentert grenseverdisetningene uten bevis da jeg gikk på videregående skole. Flere har det på samme måten.
4. Det skader ikke 17-åringer å møte definisjoner som yter litt motstand. Det er sunt å bryne seg på setninger som må leses gang på gang før de gir mening.
5. Synes det gjør vondt å fortelle elevene noe galt mot bedre vitende. Da legger jeg heller frem sannheten, så får elevene forholde seg til den.
6. Enhver sensor til muntlig eksamen vil få gåsehud på tennene av kandidater som turnerer disse begrepene presist.
7. Ved å fokusere på de korrekte begrepene kan man lede elevene i riktig retning av en total forståelse av begrepet. Elever som tror de forstår begrepene, men har misforstått, vil få en tøffere oppgave med å forstå de riktige definisjonene senere når de ikke passer med deres gale begreper.
I min klasse ble resultatet slik:
Mange av elevene syntes dette var artig og utfordrende. ("Jeg leser notatet ditt gang på gang og hver gang kommer jeg noen setninger videre...")
Halvparten kunne formulere helt presise definisjoner av grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet.
4-5 elever forsto og kunne forklare og i noen grad besvare spørsmål til alle disse definisjonene, men ikke bruke dem selv til å avgjøre om funksjoner er kontinuerlige. (dette var en vanlig R1-klasse).
Sannsynligvis er en del av elevene helt blanke på disse begrepene, men jeg synes det er bedre enn at de sitter med en gal forståelse (som at rasjonale funksjoner har diskontinuiteter eller at funksjoner med sammenhengende grafer er kontinuerlige).
@Olav Jeg er enig med deg i at elevene ikke har vondt av utfordringer -- også når det gjelder den formelle siden ved faget. Men jeg har på følelsen av at dette kan bli litt for mye for litt for mange. Jeg er ikke enig i at vi lærer elevene noe galt når vi ikke bruker epsilon-delta-definisjon av grenser og kontinuitet. Vi har bare ikke et så godt presisjonsnivå. Dette gjelder for ganske mye av det vi jobber med i videregående. Tenk bare på hvordan vi jobber med irrasjonale tall. Disse er aldri definert/konstruer skikkelig for elevene, men er bare noe som er der på tallinja. Men senere vil de møte kompletthet og eventuelt Dedekin-cuts.
SvarSlettDet som er viktig synes jeg, er at vi forteller elevene at det er mulig å gjøre dette mer presist. Da skal du være sikker på at de aller flinkeste vil bli pirret til å spørre hvordan. Og da er det bare til å sette i gang!
Slik gjør i hvert fall jeg det.
By the way: kunne du dele heftet ditt?
En del elever har veldig godt av å få se at matematikken går dypere enn oppgavene i boken. Min personlige kjepphest er definisjonene av vektorer. For å tilfredsstille fysikkfaget sier Aschehougboken (og sikkert mange andre) at det er: "en størrelse med retning". En liten smakebit, som at tallene våre også er vektorer, det finnes vektorer med uendelig mange dimensjoner, funksjoner kan være vektorer osv er tankevekkende.
SvarSlettJeg ville nok ikke ha gått i gang med epsilon-delta i samlet klasse, men det hadde vært fint å sende interesserte elever i retning av et slikt hefte. Ønsket om deling tiltredes.
En vektor er et element i et vektorrom.
SvarSlettVi skal nå lage konkretiseringer/kriterier i R1. Beklager at jeg ikke hadde synspunkter i fjor, men fokus ligger som regel på det som brenner akkurat nå. I tillegg ble mitt forhold til kriteriumsbasert vurdering ødelagt av sensorskolering, der vi ble fløyet til Oslo for å ha lange foredrag og gruppearbeid om dette. Siden kom sensorveiledning med anbefalt poengskala og på fellessensuren var det ikke en rubrikk i sikte.
SvarSlettFungerte det å nesten ikke ha konkrete kriterier på "Høy måloppnåelse", bare med krav til stringens, kreativitet og evne til å løse sammensatte oppgaver?
Var det opplagt for elevene hva som er enkle og sammensatte oppgaver?
Opplevde du disse kriteriene som gode å vurdere ut fra?
Var det konkret og målbart?
Var det noe du ville ha endret?
Min erfaring med vurderingskriterier så langt er at det skjerper *meg* som lærer når jeg lager oppgaver. De får meg til å stille spørsmål om jeg har laget oppgaver som tester på alle nivå.
SvarSlettNår det gjelder elevene, så har jeg gode erfaringer med at slike kriterier skjerper elevene når de skal besvare oppgaver. De blir gjort obs på at de må argumentere og forklare for å få f.eks. karakteren 5. Kriteriene er muligens litt vage, men de funker ok sammen med konkretisering på oppgavenivå. Dvs at jeg som lærer går gjennom ulike oppgaver og viser eksempler på tenkte elevbesvarelser.
Begrepet sammensatt oppgave er kanskje litt vel vag. Det jeg mener er problemløsningsoppgaver der det skal mer til enn bare å løse oppgaven i ett steg dersom de kommer på en eller annen teknikk. De skal med andre ord være relativt gode problemløsere. Men her kommer selvsagt problemet: hva ligger i ordet "relativ" her? Slik jeg ser det, så er det tradisjoner og skolekultur som styrer dette. Dersom vi blir for konkrete, så blir det for mye informasjon. Da er det bedre å gjøre det på oppgavenivå. Det er noe liknende de har gjort i Danmark:
Fagsiden til matematik stx/hf [25]
Hei, kult at du har laget kriterier, men jeg lurer på hvor du etterspør refleksivitet og kritikk. Ut fra kriteriene ser det ut til at fagene er helt unntatt relevans for samfunnet?
SvarSlettAltså, ikke i betydningen "praktiske anvendelser i samfunnet", men drøftinger av hvilken rolle modeller for eksempel, spiller i samfunnet, jf den generelle delen av læreplanen:
SvarSlett"Disse ferdighetene skal gi elevene en nøkkel til å forstå og analysere viktige samfunnsproblemer. Matematikken blir på den måten et hjelpemiddel både innenfor økonomi og på samfunnsområder som helse, miljø og globalisering. Programfaget har derfor både et nytteperspektiv og et dannelsesperspektiv i sitt formål."
@Per Christian: Det er interessant dette. Når jeg laget kriteriene, så gikk jeg ut fra prinsippet om at det er kompetansemålene og hvordan disse målene blir oppnådd som skal bestemme hvilken karakter eleven skal få. Jeg ser ikke noen motsetninger med dette og det du har hentet fra beskrivelsen av de generelle ferdighetene. Elevene skal kunne lage og vurdere matematiske modeller. Dette er tatt med i kriteriene og vil dekke inn denne generelle beskrivelsen.
SvarSlettVi har faktisk ikke anledning til å lage kriterier ut fra generelle del av læreplanen. Alle kriteriene skal være for kompetansemål.
Jeg forstår, men etter mitt skjønn er dette uttrykk for et viktig problem: Dersom intensjonene i den generelle delen av læreplanen ikke reflekteres i kompetansemålene, hvorfor skal da læreren ta hensyn til dem?
SvarSlett