Videorapport fra BETT 2011

Filmen under viser noen snutter fra årets BETT-messe. Denne uken er jeg så heldig å få være med de andre ePedagogene i Hordaland fylkeskommune til London BETT samt skolebesøk.

BETT 2011 from Tor Espen Kristensen on Vimeo.

IKT og framtiden

Senter for IKT i utdanningen har laget en film med tittelen «Fremtiden starter nå».

Senter for IKT i utdanningen - Fremtiden starter nå from Howie Arnstad on Vimeo. 
Filmen er godt laget og dens budskap er at elevene er omgitt med teknologi og at vi som lærere (og skoleledere) har ansvar å lære opp elevene til å bruke denne teknologien på en god måte og at denne også kan gi bedre og mer læring. Det bør settes av tid til at lærerne kan oppdateres seg innfor teknologien og at de da kan bli satt i stand til å bruke den i undervisningen.
Dette er i og for seg greit. Men min erfaring så langt er at teknologien bringer oss et visst stykke (egentlig ikke så veldig langt) og at den største utfordringen er hvordan vi kan bruke denne teknologien i en faglig kontekst og på en fagdidaktisk god måte.
La meg ta et eksempel. Ved hjelp av et digitalt verktøy som GeoGebra eller TI-nspire kan vi utforske grafer ved hjelp av glidere (nevnt i filmen). Dette er et utrolig godt hjelpemiddel! Men hvordan skal vi jobbe med slike i undervisningen? IKT må bli mer en at vi bare demonstrerer noe for elevene. Hvordan kan vi få elevene til å selv oppdage sammenhenger, kommer med forslag og spørsmål til videre utforsking. Det er der utfordringen ligger synes jeg. Eller hva mener du?

Matematikk – fra mønster til bevis

Hva er matematikk? Det er et ganske dypt spørsmål og det fins et hav av svar på dette spørsmålet. På den ene siden kan faget bli sett på som en samling av fakta og ferdigheter. Å lære matematikk vil ut fra et slikt syn si å kunne mestre algoritmer, kunne gjengi teoremer og huske ulike definisjoner. På den andre siden kan vi si at matematikk er «vitenskapen om mønster» (engelsk: science of patterns). Ut fra dette synet går matematikk ut på å lete etter mønster og sammenhenger.

Heldigvis trenger vi ikke å velge ståsted. Matematikk er mer enn fakta og ferdigheter, men disse er også viktige deler av faget. Vi søker å finne sammenhenger og algoritmer. Når vi har funnet en sammenheng, så prøver vi å bevise denne ut fra visse formelle spilleregler. Når dette er gjort og vi således har klart å bevise resultatet sier vi at vi har et teorem.

Et kjent eksempel på dette er Fermats siste sats. Denne sier at det ikke finnes hele tall a, b og c slik at   for heltall, . I tilfellet n=2 gjelder dette ikke, for der har vi alle de pytagoreiske triplene, for eksempel . Poenget her er at ingen klarte å bevise at denne satsen var sann før Andrew Wiles klarte det i 1995. Det var 358 etter at Pierre de Fermat satte fram sin formodning i margen til Diofantos bok Aritmetica. Hvordan «visste» så Fermat og alle matematikere som i århundrene etter prøvde å finne et bevis at dette stemte? Det var små biter som alle pekte mot denne sammenhengen. Faktisk klarte Leonardi Fibonacci å bevise at «Fermats sats» stemte for n=4 allerede i 1225. Euler viste at satsen var rett for n=3 i 1770 og Sophie Germain klarte å vise den for alle primtall mindre enn 100. Men det var altså Andrew Wiles som endelig klarte å bevise resultatet generelt.

Det er alltid interessant å studere hvordan matematiske sammenhenger oppdages og bevises i et historisk perspektiv. Tar du en standard tekstbok i matematikk, så ser alt så rent og pent ut med en logisk oppbygging. Dette viser strukturen i faget. Dette er noe som alltid har fasinert meg og er trolig grunnen til at jeg valgte algebraisk geometri. I algebraen er selve strukturene essensen av det vi studerer. Vi konstruerer visse objekter og lager en additiv og multiplikativ struktur. De som har studert lineær algebra vil se dette tydelig i teorien om vektorrom.
Men hva har dette å si for undervisningen i videregående skole? Dessverre er det lite leting etter mønster og sammenhenger i lærebøkene. Selv om det er mange gode unntak for det jeg her skriver, så tror jeg ikke at jeg er langt fra sannheten når jeg sier at lærebøkene legger lite opp til at elevene skal utforske og oppdage sammenhenger. Og dessverre blir også den formelle siden neglisjert.

La meg ta et eksempel. Elevene får allerede i ungdomsskolen lære at når du ganger sammen to negative tall, så vil svare bli et positivt tall -- eller som det ofte heter: minus og minus er pluss. Men hvordan kan elevene «vite» at dette stemmer? Jeg har satt vite i anførselstegn siden det etter min mening fins flere nivåer i det å vite noe. Fermat var gangsk sikker å at satsen hans var sann. Han bare visste det. Men det var egentlig ingen som visste det før i 1995.
Her er en måte som jeg har hatt suksess med når det gjelder regelen «minus ganger minus er positiv». Start med to positive tall, la oss si 4 og 5. Spør så elevene hva du får når du ganger dem sammen. Svaret er 20. Reduser så systematisk det ene tallet slik at du får følgende liste med regnestykker:

Hva er sammenhengen her? Er det noe mønster i svara? Her er tanken at elevene selv skal se at svaret reduseres med 4 nedover. Så da blir de to neste tall 4 og 0. Så hva blir da  ? Det er 4 mindre enn 0 ikke sant? Altså -4. Hva så med ? Det blir -8. Sammenhengen er oppdaget: et positivt tall multiplisert med et negativt tall er det tilsvarende negative tallet.
Når denne sammenhengen er oppdaget fortsetter vi med å utforske hva som skjer om vi starter med et negativt og et positivt tall, for eksempel 6 og -4. Vi gjentar så oppsettet over og spør hva vi får når vi ganger sammen disse. Svaret blir -24 ikke sant? Så reduserer vi 6:

Hva er så sammenhengen her? Jo, når vi reduserer tallene til venstre, så øker svaret med 4 nedover. Så da blir de neste tallene -8, -4 og 0. Det store spørsmålet nå er hva blir? Det er vel 4 mer enn 0 det da! Akkurat! Så da kan vi fortsette:

Hvilken sammenheng ser vi? At et negativt tall multiplisert med et negativt er et positivt tall!
Hva så med den formelle siden? Hvordan beviser vi en slik sammenheng? Når jeg nå skal gå igjennom et slikt bevis, så tror jeg mange vil forstå hvorfor dette ikke blir gjort for de fleste elevene. Men da jeg underviste på ungdomstrinnet tok jeg de flinkeste elevene til sides og viste dem beviset. Dette var for elever i 9. trinn og dersom du rynker på nesen over dette, så vil jeg si at det er min faste oppfatning at de flinkeste elevene kan presses mye lenger enn det vi ofte gjør. Men her er beviset. Vi starter med å se på . Vi ønsker å vise at dette blir. En fin måte å gjøre dette på er å vise at når du adderer) og , så får du 0 til svar. Vi får dette til ved å bruke den distributive lov (faktorisere ut en felles faktor – i dette tilfellet a):

 

 

Dette viser at . La oss så gå videre og se på. Vi vil vise at dette er lik . Det kan vi gjøre ved å vise at . Nå vet vi at andre leddet på venstresiden i dette uttrykket er lik . Vi får derfor

Dette viser at .
Mitt poeng med dette blogginnlegget er å vise et eksempel på at matematikk er mer enn å kunne memorere ulike definisjoner og regler. For meg er det viktig at elevene får oppdage alle sidene med faget, ikke bare de aller flinkeste i for eksempel R2. Jeg er litt redd for at faget i dag er delt opp etter skoleslag. På barnetrinnet er det mer oppdagende aktiviteter og lite innslag av den formelle siden ved faget mens i videregående er mer regler og algoritmer og litt av den formelle siden. Alle sidene må jobbes med på alle nivå —også på universitet og høgskole.

Intuisjon og det formelle…

For tiden jobber elevene mine med trigonometriske funksjoner, nærmere bestemt derivasjon av slike. I dette blogginnlegget vil jeg komme med noen tanker om hvordan dette innføres for elevene. Jeg vil spesielt ta for meg hvordan elevene blir presentert hva den deriverte til . I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

Ut fra grafen ser vi at

.

Videre argumenteres det med perisodisiteten til funksjonen og fortegnet til den deriverte. Kanskje elevene vil kjenne igjen disse egenskapene som tilhørende cosinus-funksjonen? Her er det vår intuisjon som blir utfordret. Etter dette blir den deriverte plottet med grafisk kalkulator – noe som viser at vår mistanke om at f’(x)=cos x  ikke er urimelig.

Til slutt blir den deriverte analysert ved hjelp av Newton-kvotienten:

Dette er i og for seg en grei måte å gjøre dette på og jeg liker Aschehougs versjon bedre enn Cappelens versjon. I sistnevnte læreverk blir regelen bare slått fast: den deriverte til sin(x) er cos(x). Beviset blir gjennomgått i et senere avsnitt. Dette mener jeg er en feil måte å jobbe med matematikk på. Det er greit nok at ikke alle elevene vil være med på beviset, men disse bør i alle fall jobbe intuitivt med stoffet.

Jeg liker best å innføre det på følgende måte. Ut fra grafen over kan vi tippe at den deriverte til sin x i x=0 er 1. Dette kan eventuelt utfordres ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel (Les: GeoGebra). Men en slik intuisjon må underbygges formelt. Så derfor tenker jeg at det er ok å prøve å finne den deriverte til sin x i x=0 ved hjelp av definisjonen til den deriverte:

Her kommer vi altså fram til den berømte grensen, og vi har allerede en fornemmelse av at denne skal bli lik 1. Det er min oppfatning at vi i R2 skal ta med elevene på et «bevis» for at denne grensen er 1. I Aschehoug blir dette gitt som oppgaver bak i boka. Som kjent bruker vi følgende figur for å squeese grensen til 1:

Ut fra denne figuren ser vi at

Antar vi at u>0, så kan vi dele med sin u og få:

Det vil si at

 

Lar vi nå u gå mot null (fra høyre), så ser vi at

For å vise at dette også funker når u<0, så er det bare å sette v=u og bruke at sin(-v)=-sin(v). Alt dette viser altså at f’(0)=1.

Når dette er gjort, så kan vi spørre hva den deriverte til g(x)=cos(x) er når x=0. Grafisk, så «ser» vi at dette bør bli 0. Ut fra definisjonen ser vi at vi får grensen:

Vi jobber oss så fram til at dette faktsik blir 0 ved å utvide brøken med  cosΔx +1 og bruke sammenhengen sin²x+cos²x=1. Lønnen for alt dette arbeidet får vi når vi prøver å finne den deriverte for f(x)=sin(x) for en generell x. Vi får da (om vi bruker formelen for sinus til summen av to vinkler) grensen

I R1 blir beviser tatt opp som et tema (ofte knyttet til algebra og ikke geometri!). Jeg mener at vi ikke skal være redde for å ta med elevene på en gjennomgang som skissert over. Elevene må få møte både den intuitive siden ved faget og den formelle siden. Men det krever en del tid og vi kan kanskje ikke regne med at alle elevene vil forstå alt. Men betyr det at vi ikke skal bruke tid på slikt? Jeg mener at også de flinke elevene må få noe å tenke på i timene. Og det er ikke sikkert at elevene vil bli så avskrekket av å jobbe slikt. Eller?

Hvor mye skal vi kreve av Fysikk 1- elever

Har nettopp hatt en prøve med mine Fysikk1-elever der en av oppgavene var som følger:

Ei kule henger i ein tynn snor i taket på ei stilleståande jernbanevogn.
Kva skjer med kula når toget setter seg i rørsle, og kvifor?

Nå sitter jeg og vurderer elevenes besvarelser og er litt usikker på hvor mye jeg kan forvente av dem. Her er hva en elev skriver:

Kula vil henge skrått bakover. Dette skjer fordi kula har treigleik.

Dette er jo i og for seg rett, men kan vi kreve en mer presis forklaring av elevene. Her er en annen variant:

Her blir Newtons 2. lov brukt. Hva sier du som leser denne bloggen?

Sektordiagram i GeoGebra

Det fins ikke eget verktøy for å lage sektordiagram i GeoGebra, men det går an å lage et slikt selv. Her i dette innlegget vil jeg ta deg med på prosessen som leder fram mot et slikt verktøy.

 

Vi starter med å åpne GeoGebra og lager en liste L med tall. Denne vil kun fungere som en dummy-liste. Skriv inn for eksempel L={4,3,4,1} i inntastingsfeltet:

Vi ønsker å finne de tilsvarende relative veridiene. Da må vi finne summen av listen, og så dele hvert element i listen med summen. For å finne summen av en liste skriver du inn:

 s=Sum[L].

Vi trenger også å vite hvor mange elementer listen har. I dette tilfellet ser vi at det er 4, men vi vil at dette skal fungere uavhengig av hvor mange elementer det er i listen L. Skriv derfor inn

a=Lengde[L].

Nå har vi det vi trenger for å lage en ny liste med de relative verdiene. For å gjøre dette bruker vi kommandoen Følge[ ]. Skriv inn

R=Følge[Element[L, i]/s, i, 1, a].

Her har jeg også brukt kommandoen Element[L, i]. Denne gir element nummer i i listen L. Kommandoen Følge alger en ny liste bestående av Uttrykk, Variabel, fra, til. Her i dette tilfellet er variabelen i og denne skal variere fra 1 til a. Alstå plukker vi ut elementene fra listen L og deler på summen s. Vi får da en ny liste med a elementer.

Så langt har vi altså fått følgende:

Vi vil nå lage enda en liste. Denne skal bestå av de tilsvarende vinklene som hvert element tilsvarer i et sektordiagram. Dette er ikke så veldig vanskelig siden vi nå har de relative verdiene. Vi må bare multiplisere hvert element i liste R med 360 grader. Vi skriver derfor inn

V=Følge[Element[R, i]*360°, i, 1, a]

Vi får da V={120°, 90°, 120°, 30°}. Men dette hjelper oss ikke helt, siden vi vil ha vinklene til hver sektor. Den første går fra 0° til 120° mens den andre skal går fra 120° til 120°+90°=210°. Vi må med andre ord lage en kummulativ liste med vinkler. Jeg skriver derfor inn:

W=Følge[Sum[V, i], i, 1, a]

Fa får vi W={120°, 210°, 330°, 360°}.

OK så langt. Vi har fått vinkelen. Neste steg er å finne selve punkta på sirkelen. Men først kan vi lage oss sirkelen. Lag et punkt en eller annen plass i Geometrivinduet. For eksempel

A=(3,3)

Velg en radius. For elsempel

r=2

Skriv så inn

Sirkel[A,r]

for å lage sirkelen med sentrum i A og radius r. Vi er nå klar for å lage punktene som derfinerer de ulike sektorene. Skriver inn:

P=Følge[A+r*(cos(Element[W,i]), sin(Element[W, i])), i, 1, a]

Du får da følgende figur:

Det neste jeg ønsker å gjøre, er å lege linjestykker fra A og ut til disse punkta. Skriver derfor inn:

M=Følge[Linjestykke[A, Element[P,i]],i,1,a]

En siste ting jeg ønsker å gjøre før jeg er klar til å lage verktøyet: jeg vil ta vekk navnet på sirkelen c. Høyreklikk på sirkelen og hakk vekk «Vis navn»:

 

Alt vel så langt. Vi er nå klare til å lage selve verktøyet. Klikk på Verktøy og «Lag nytt verktøy»:

Du vil da få opp vinduet som vist under. Her må du velge hvilke objekter du vil at verktøyet skal produsere. I vårt tilfelle er det linjestykkene og sirkelen:

Disse skal lages ut fra listen L, punktet A og radiusen til sirkelen:

Velger du nå neste vil du få neste flik hvor du setter navn på verktøyet og hjelpetekst som forklarer hvordan verktøyet brukes. I dette eksempelet har jeg skrevet inn «Velg liste, sentrum av sektordiagram og radius»:

Klikk så fullfør og verktøyet er laget!

 

I bruk

La oss nå vise hvordan dette verktøyet kan brukes. Lag en ny liste med talldata:

H={13,10,20,5,4}

Helt til høyre på verktøylinjen har du nå fått et nytt verktøy (som vi akkurat har laget):

Jeg har flottet meg litt med å lage et ikon til verkøyet. Men dette er ikke nødvendig. Klikk på dette verktøyet og så på listen H. Deretter klikker du der du vil at sektordiagrammet skal være. Du vil da få følgende:

Skriv så inn ønsket radius til sektordiagrammet og du får det tegnet inn:

Dersom du synes dette var et verktøy som det er verdt å ta vare på, så bør du lagre innstillingene dine:

Da vil verktøyet være tilgjengelig hver gang du åpner GeoGebra!

Her kan du laste ned mitt verktøy.

 

En liten kommentar til slutt: egentlig er jeg ikke så begeistret for denne måten å tegne sektordiagram på. Vi får egentlig liten oversikt over tallmaterialet og verkøyet viser ikke hvilke tall hver sektor tilsvarer, selv om jeg vet at første sektor er første tall, andre er andre tall etc. Er det ikke bedre å bruke Excel til dette? Eller eventuelt OpenOffice.org Calc? Jeg synes at slike programmer er undervurdert i videregående skole!

En artig liten sak…

Elstemann har blitt 13 år og dermed er jeg ikke lenger den enerste i huset som er registrert på Facebook. Her om dagen la han ut følgende på statusen sin:

Hvem er ditt idol?
Du må ikke jukse...
1: Tenk på et tall mellom 1 og 9.
2: Multipliser tallet med 3.
3: Legg til 3.
4: Multipliser tallet med 3
Du får nå et tosifret tall.
5: Legg sammen de to sifrene
Nå kan du ser med ditt tall hvem som er ditt idol:
1. Kesha
2. Barrak Obama
3. Michael Jackson
4. Taio Cruz
5. Madcon
6. Raske menn
7. Lady Gaga
8. Katy Perry
9. Mathias Kristensen
10. Ozzy Osbourne

Så her har du en liten utfordring: hvordan eller hvorfor fungerer dette?