Pages

tirsdag 4. januar 2011

Intuisjon og det formelle…

For tiden jobber elevene mine med trigonometriske funksjoner, nærmere bestemt derivasjon av slike. I dette blogginnlegget vil jeg komme med noen tanker om hvordan dette innføres for elevene. Jeg vil spesielt ta for meg hvordan elevene blir presentert hva den deriverte til image. I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

I Aschehougs verk blir elevene først presentert grafen til sinusfunksjonen.

image

Ut fra grafen ser vi at

image.

Videre argumenteres det med perisodisiteten til funksjonen og fortegnet til den deriverte. Kanskje elevene vil kjenne igjen disse egenskapene som tilhørende cosinus-funksjonen? Her er det vår intuisjon som blir utfordret. Etter dette blir den deriverte plottet med grafisk kalkulator – noe som viser at vår mistanke om at f’(x)=cos x  ikke er urimelig.

Til slutt blir den deriverte analysert ved hjelp av Newton-kvotienten:

image

Dette er i og for seg en grei måte å gjøre dette på og jeg liker Aschehougs versjon bedre enn Cappelens versjon. I sistnevnte læreverk blir regelen bare slått fast: den deriverte til sin(x) er cos(x). Beviset blir gjennomgått i et senere avsnitt. Dette mener jeg er en feil måte å jobbe med matematikk på. Det er greit nok at ikke alle elevene vil være med på beviset, men disse bør i alle fall jobbe intuitivt med stoffet.

Jeg liker best å innføre det på følgende måte. Ut fra grafen over kan vi tippe at den deriverte til sin x i x=0 er 1. Dette kan eventuelt utfordres ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel (Les: GeoGebra). Men en slik intuisjon må underbygges formelt. Så derfor tenker jeg at det er ok å prøve å finne den deriverte til sin x i x=0 ved hjelp av definisjonen til den deriverte:

image

Her kommer vi altså fram til den berømte grensen, og vi har allerede en fornemmelse av at denne skal bli lik 1. Det er min oppfatning at vi i R2 skal ta med elevene på et «bevis» for at denne grensen er 1. I Aschehoug blir dette gitt som oppgaver bak i boka. Som kjent bruker vi følgende figur for å squeese grensen til 1:

image

Ut fra denne figuren ser vi at

image

Antar vi at u>0, så kan vi dele med sin u og få:

image

Det vil si at

image

 

Lar vi nå u gå mot null (fra høyre), så ser vi at

image

For å vise at dette også funker når u<0, så er det bare å sette v=u og bruke at sin(-v)=-sin(v). Alt dette viser altså at f’(0)=1.

Når dette er gjort, så kan vi spørre hva den deriverte til g(x)=cos(x) er når x=0. Grafisk, så «ser» vi at dette bør bli 0. Ut fra definisjonen ser vi at vi får grensen:

image

Vi jobber oss så fram til at dette faktsik blir 0 ved å utvide brøken med  cosΔx +1 og bruke sammenhengen sin²x+cos²x=1. Lønnen for alt dette arbeidet får vi når vi prøver å finne den deriverte for f(x)=sin(x) for en generell x. Vi får da (om vi bruker formelen for sinus til summen av to vinkler) grensen

image

I R1 blir beviser tatt opp som et tema (ofte knyttet til algebra og ikke geometri!). Jeg mener at vi ikke skal være redde for å ta med elevene på en gjennomgang som skissert over. Elevene må få møte både den intuitive siden ved faget og den formelle siden. Men det krever en del tid og vi kan kanskje ikke regne med at alle elevene vil forstå alt. Men betyr det at vi ikke skal bruke tid på slikt? Jeg mener at også de flinke elevene må få noe å tenke på i timene. Og det er ikke sikkert at elevene vil bli så avskrekket av å jobbe slikt. Eller?

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar

Kommentarer