Kvadratiske likninger i Matematikk 1T

I Matematikk 1T skal elevene lære å løse andregradslikninger. Det vil si at de skal kunne løse likninger på formen I Aschehaougs læreverk blir elevene presentert løsningsformelen for denne – den såkalte abc-formelen:

Dette blir gjort uten bevis eller noe argumentasjon. I Cappelen Damm sitt læreverk Sinus blir formelen presentert og det blir gitt noen eksempler og oppgaver før beviset blir gitt.

Jeg liker dårligst Aschehougs versjon. Formelen blir presentert og jobbet med i kapittel 1 og det er først i kapittel 5 at elevene blir introdusert til kvadratsetningene. Dette synes jeg er meget uheldig. Elever som velger 1T må for all del ikke lære at matematikk er et fag der de skal lære et sett med regler og prosedyrer som de skal kunne. Matematikk er mer enn dette. Eller kanskje vi kan si at dette ikke er matematikk i det hele tatt?

Jeg vil i dette innlegget dele noen tanker om hvordan jeg liker å introdusere elevene til kvadratiske likninger. Jeg pleier å starte med helt enkle likninger av typen . Geometrisk kan vi si at dette svarer til lengden av sidene i et kvadrat med areal lik 9. Men vi må selvsagt ikke glemme den negative løsningen. Når elevene har fått diskutert dette kan vi se på likninger av typen . Det vil si at

 

Dette pleier å gå greit. Problemet oppstår når vi skal se på likninger av typen . Nå er det ikke bare til å flytte over og ta kvadratrot. Her må det jobbes mer og det kan være instruktivt å gi en geometrisk løsning også her. Målet er jo at elevene skal forstå konseptet med å fullføre kvadrater. I dette tilfellet svarer likningen til å finne x slik at arealet til følgende rektangel blir lik 64:

Trikset vi her gjør er å dele biten til høyre i to like store deler:

Klipper vi opp langs den oransje linjen og flytter på den ene rektanglet, får vi:

Dette begynner å likne på et kvadrat. Den delen sommangler for at dette skal
bli et kvadrat har et areal som er . Det vil si at figuren under er 36
arealenheter større enn den opprinnelige figuren:

Denne figuren har med andre ord et areal lik 64 + 36 = 100. Sidene i dette
kvadratet har lengder lik x + 6. Vi får derfor:

Vi kan nå ta kvadratroten av begge sider og få

Det vil si at x=4 eller x=-16.

Når dette er gjort pleier jeg å gi tilsvarende oppgaver og kanskje noen med en liten vri på. Jeg har laget et lite hefte som viser mer detaler.

Poenget er at elevene forhåpentligvis vil forstå hva det innebærer å fullføre et kvadrat og at kanskje noen vil forstå den generelle utledningen av acb-formelen.

Synes du dette var interessant, kan du selvsagt bruke heftet lenket ovenfor.

Integrasjonsbegrepet

Vi jobber med integrasjon og har denne uken sett på omdreiingslegemer. Det vil si at vi har rotert grafen til en funksjon om x-aksen og så beregnet volumet av dette ved å dele opp volumet i disker med radius lik og tykkelse dx. Volumet blir da

Dette er standard pensum i R2 og det er ikke dette jeg vil skrive om her. Jeg liker å slenge litt ut med ekstra utfordringer til elevene og det gjorde jeg også denne gang. Her er oppgaven:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius R og indre radius r (som vist på figuren under)

 

En måte å løse denne oppgaven på er å finne en (eller flere) funksjoner som vi kan rotere om x-aksen. I dette tilfellet kan vi rotere øvre og nedre del av sirkelen som vist på figuren under:

 

 

Det vil si at vi først roterer den øvre (røde) halvsirkelen og deretter den nedre (blåe) halvsirkelen. Volumet av torusen blir da differansen til disse.

Det vil si at

 

og

 

Det er vel unødvendig å si at disse integralene kan være vanskelige og til dels tekniske å løse og det er vel derfor vi har CAS-verktøy!? Jeg bruker her wxMaxima og gjør følgende utregninger:

Altså ser vi at volumet av torusen er .

 

Vakkert? Kanskje det, men bare vent til du får se hva en av elevene kom opp med. I stedet for å gå rett løs på teknikken (slik jeg gjorde i mitt hode), så hadde denne eleven forstått selve integrasjonsbegrepet ganske godt. Så her er hvordan han tenkte:

Vi kan kutte torusen opp i mange små biter som tilnærmet blir sylindre.

 

Dersom vi snur annen hver av disse «kakestykkene» får vi noe som likner på følgende figur:

Figuren kan være noe missvisende, siden dette ikke er et todimensjonalt objekt, men noe som likner på  en syliner med radius r.  Deler vi opp i stadig flere slike, så vil det bli mer og mer lik en sylinder. I grensen vil det bli likhet. Hva er så høyden i denne sylinderen? Siden begge sidene nå er like lange, så blir det midt mellom ytre og indre omkrets i torusen. Den ytre omkretsen er

og den indre omkretsen er. Meidt mellom disse er da . Volumet blir derfor. Altså det samme som vi fant ved hjelp av wxMaxima.

 

Kult ikke sant!

Hva var nå vannstanden på julaften?

Her om dagen jobbet vi med det som læreboka i R2 kaller for ikke-lineære modeller. I videregående skole har modellering lett for å bli et synonym med regresjon. De mest vanlige regresjonene er de på formen

 

 

 

 

 

 

  og

  .

Alle disse kan du gjøre i program som GeoGebra og wxMaxima. Dessverre er det slik at elevene får servert tallmateriale som de så skal bearbeide. Det blir lite innhenting av egne data. Dette er ikke krise for de elevene som tar fysikk, siden de der ofte må gjøre målinger og ut fra disse lage ulige matematiske modeller.

Her om dagen jobbet elevene med sinus-regresjon (siste typen på lista over). I den forbindelse gav jeg dem oppgave å finne ut hvor høy vannstanden var i Bergen klokken 18:00 på julaften 2010. Grunnen til at jeg valgte denne dagen, er at yr.no oppgir vannstanden for dager framover i tid, men ikke før 1. januar 2011. De måtte derfor bruke de talla som er oppgitt for 2011 og lage en modell som de kan ekstrapolere bakover i tid.

 

Som lærer tenkte jeg at vi kunne se på vannstanden 1. januar, lage en modell ut fra denne dagen og så spole bakover i tid. Men eleven var smartere. Det var faktisk flere av dem som i stede så på alle dagene i januar dette året og vannstanden klokken 1800 disse dagene. Ut fra disse fikk de følgende graf:

Så utførte de en sinusregresjon på denne og fikk at

 

Så var det bare å ta . Denne verdien var litt høyere enn observert måling. Årsaken til denne «feilen» er at været påvirker tidevannet. I dette tilfellet var det hele 24 cm lavere vannstand enn modellene brukt av sjøkartverket. En slik vurdering av modellen hører selvsagt med til modelleringskompetansen til elevene.

 

Konklusjonen min: du lærer så lenge du har elever!

 

Bildet tatt av GudikFoto på Flickr med tittel Bergen 1 (Bryggen) på Flickr.

Arbeidsark i GeoGebra

Jeg vil i dette innlegget vise hvordan du kan lage arbeidsark som nettsider i GeoGebra. Det første du gjør er å lage selve GeoGebra-fila og velger så å eksportere til nettside.


Når en gjør dette, så får en følgende vindu opp:



Et tips før du kommer så langt er å tilpasse de ulike menyene. Dert gjør du ved å klikke på Tilpass verktøylinje under Verktøy:

Du får da opp følgende vindu:


Her kan du «Slette» verktøy. Dette gjelder kun for akkurat det arbeidsarket du nå lager, med mindre du lagrer innstillingene dine i GeoGebra under «Innstillinger». Dette kan være nyttig dersom du for eksempel ønsker at elevene selv skal gjøre ulike konstruksjoner som de ellers lett kan gjøre ved hjelp av et verktøy.
Her ser du hvordan en slik fil kan se ut etter at en del verktøy er tatt bort:


Når du har lært å lage slike arbeidsark, så kan det være at du faller for fristelsen å ta ett steg videre: å bruke Javascript! Hovedkilden du vil gå til for å lære dette er her.

<form>
<input onclick="document.applets[0].setVisible('tekst', true);" type="button" value="Vis funksjonsuttrykk" />
<input onclick="document.applets[0].reset();" type="button" value="Ny oppgave" /></form>

Jeg vil her vise et eksempel som muligens klargjør hva dette går ut på. Jeg vil vise hvordan jeg laget følgende ark. Poenget her er de to knappene under selve GeoGebra-fila. Disse er laget ved å legge til noen linjer etter applet-koden i html-fila. Det vil si at jeg har lagt til følgende linjer etter appleten:Dette gir disse knappene:

   

På GeoGebra siden nettsider finner du flere objekter og handlinger som kan legges til. På denne måten kan vi altså manipulere GeoGebra-fila ved knapper eller anndre innputs. Litt mer avansert, men kanskje nyttig for noen?

Minste kvadraters metode i R2

For tiden jobber vi med modellering i R2. I den forbindelse skal elevene kunne utføre ulike typer regresjoner. Den vanligste av disse er lineær regresjon: gitt en del punkter i planet. Finn så den linjen som passer best (i en eller annen forstand) til disse punktene.

Jeg har alltid hatt en følelse av at dette blir veldig mekanisk og kunstig for elevene. Trykk på noen knapper på kalkulatoren eller pc-en og vips så får du linjen. Men hva er det egentlig som skjer? Hvilken matematikk ligger bak denne formelen? Dette er noe som blir lite lagt vekt på i lærebøkene. Det synes jeg er litt dumt. Da tror jeg faktisk at elevene ville være bedre tjent med å kutte ut hele regresjonsgreie og heller jobbe med forståelse innenfor andre tema. Men det er nå bare min mening.

 

Så hvordan kan vi så gjøre dette mer forståelig for elevene? Jeg vil ikke komme med noe fasitsvar på dette her, men vil skissere en måte å gå fram på. Hvor mye elevene faktisk sitter igjen med etter en slik gjennomgang er ikke godt å vite og avhenger selvsagt av bakgrunn og motivasjon til eleven.

 

Det går an å gjøre en innføring som appelerer til intuisjonen til elevene. Jeg har laget et lite GeoGebra-arbeidsark som kan brukes i denne sammenhengen. Selve ideen til arket har jeg fra GeoGebra-wikien, men må dessverre si at jeg ikke har klart å finne originalen igjen. Så her er min versjon.

 

Som du kan se, så har jeg lagt inn fire punkt i arket og en linje y=ax+b. Opplegget går så ut på å fikle med gliderne til vi får en linje som «passer bra». Legg merke til at du kan få summen av avvikene til å være konstant innenfor visse intervall av glideren b. Dette viser at selve avvika ikke er egnet som mål for hvor godt linja passer. Dette må selvsagt diskuteres med elevene i fellesskap. Noen elever vil så foreslå at vi kan bruke absoluttverdien av avvikene og det er selvsagt helt korrekt. Men det er ikke så lett regneteknisk. Derfor fant Gauss ut at summen av kvadratavvikene vil være et bedre mål. Ved å klikke på avkrysningsboksen for «Vis kvadrater og summen av disse» vil du få fram kvadratene. Poenget nå er å finne den a og b som gjør denne summen minst mulig.

 

Forhåpentligvis har de fleste elevene fått med seg ideen nå. Skal vi så stoppe der, eller bør vi dra dem et steg videre? Her er jeg litt usikker, men i år valgte jeg det siste. Jeg tok utgangspunkt i et eksempel. La oss si at vi vil finne linja som passer best til punkta (1, 2), (4, 5) og (7, 7). Vi ønsker med andre ord å finne en funksjon f(x)=ax+b som er slik at summen av kvadratene til avvikene blir minst mulig. Avvikene blir i dette tilfellet f(1)-2, f(4)-5 og f(7)-7. Det vil si at summen av kvadratene til disse blir:

Det er denne summen vi ønsker å gjøre så liten som mulig. Dersom vi nå bare ser på b som en konstant og a som vår variabel, så kan vi derivere med hensyn på a. Dette kalles partiellderivasjon og fungerer på samme måte som vanlig derivasjon. Vi noterer dette som   Vi vet at dersom det er en a (og en b) som gjør denne summen minst mulig, så må den deriverte med hensyn på a være null. Vi får:

På samme måte må den deriverte med hensyn på b være null:

Vi har med andre ord fått to likninger med to ukjente a og b. Løser vi dette likningssettet, så får vi a=5/6 og b=4/3. Altså har den linjen som gir minst minste kvadratsum gitt ved

 

I videregående tror jeg det neppe er noen god ide å dra dette videre og vise det generelt. Men de aller aller flinkeste kan kanskje klare å finne ut av den generelle formelen for a og b selv. Men det gjør jeg ikke her i bloggen .

 

Prosedyrene beskrevet over er selvsagt ikke noe vi skal gjøre hver gang vi skal gjøre regresjoner. Så i det videre arbeidet vil elevene mine bruke GeoGebra.

 

Et lite tips til slutt. Det fins mange kommandoer for regresjon i GeoGebra. To av disse er RegLin og RegPloly. Sistnevnte kommando tar to argumenter: liste med punkter og grad. Velg grad lik 1. Dette er bedre enn RegLin siden denne kun gir en linje som var, mens RegPoly gir en funksjon som svar. Dette er mye bedre dersom vi i en modell skal finne hva y er når x er gitt. Da er det bare til å regne ut f(x)!

 

Helt til slutt: synes du det er å presse elevene for mye når jeg tar dem med på slike partiellderiveringer, eller tror du dette kan være med på å øke den matematiske forståelsen til elevene? Jeg spør fordi jeg er usikker!

Matematikk og skjønnhet

På engelsk tales det ofte om «the beauty in mathematics». Om ordet skjønnhet er en god oversettelse kan sikkert diskuteres, men hva ligger i en slik beskrivelse av faget? Filmen under viser en tolkning av dette:

The Fibonnacci suite in it's all beauty

En veldig bra laget film som viser hvordan Fibonacci-tallene går igjen i ulike sammenhenger i naturen. Filmen viser at matematikk fins i skjønnhet. Den viser ikke hvordan det gylne snitt er brukt i ulike kunstverk og arkitektur (som det blir).

Men det er en annen side ved faget som jeg ønsker at mine elever skal oppdage, nemlig skjønnheten i selve matematikkfaget. Matematikeren G. H. Hardy skriver om dette i sin bok A Mathematician's Apology:

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.

Her om dagen kom jeg over en fin side på wikipedia som tar for seg dette temaet: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty Her løftes balant annet fram skjønnheten i et bevis. Ja, du leste riktig. Et bevis kan være vakkert. Men alle beviser er ikke det. Du kan for eksempel vise at

ved induksjon på n. Men du får et enda vakrere bevis ved å bruke binomialteoremet:

og sette x=y=1. I filmen under beskriver en del matematikere hvordan du ser på matematiske bevis som vakre.

Is a Mathematical Proof Beautiful? - Mathematical Ethnographies series

Hva har dette å si for oss som er så heldige å få undervise i dette faget? Påvirker dette vårt syn på faget og hvordan vi jobber med matamatikk med elevene? Selvsagt gjør det det! Vi vil at elevene skal oppdage denne elegansen. Det kan være et vakkert bevis for pytagoras’ setning. Det kan være en flott måte å vise at summen av to partall er et partall. Eller (for matematikk X) at det fins uendelig mange primtall. Men jeg tror også det påvirker oss på hvordan vi velger å løse oppgaver. Det fins lette måter å løse oppgaver digitalt, men de er liksom ikke så vakre. Vi foretrekker ofte å vise ting ved regning (hva vi nå enn mener med dette).

 

Her er en oppgave du kan løse. Det fins en veldig elegant løsning og når du finner den (om du gjør ;-), så vil du smile og si at det var artig! Her er oppgaven:

Et tre er 20 meter høyt og har en omkrets på 3 meter. En plante slynger seg fint rundt treet syv ganger og går fra bunnen av treet og helt til tops. Hvor lang er dette planten?

Her er et annet problem som har en veldig elegant løsning:

Vis at 1+1/2+1/3+1/4+… divergerer.

Du kan vise dette ved å gruppere leddene på følgende måte:

_S1=1/2

_S2=1/3+1/4

_{S3=1/5+1/5+1/6+1/8}

_etc.

_{Sk har med andre ord ledd og i hver av disse summen er det siste leddet minst. Det vil si at}

. Dette viser igjen at hele den opprinnelige rekken er større enn

1 + 1/2+1/2 +… og siden dette er en divergent rekke, så må også rekken 1+1/2+1/3+… være det.