Litt morro i romjula: kvadratrot for hånd

Vi er så vant med å bruke kalkulatoren nå at vi kan stå i fare for å glemme viktige regneteknikker... Så derfor skriver jeg litt om hvordan vi kan trekke kvadratrøtter uten å bruke kalkulator. Prinsippet er enkelt og jeg viser det med et eksempel.

La oss si at vi vil ta kvadratroten av 15. Vi vet svaret må være litt mindre enn 4 siden 4² = 16. Vi starter derfor med å dele 15 med 4 (altså et tall i nærheten av kvadratroten). Vi får da 15/4= 3,75. Så tar vi gjennomsnittet av dette og 4 (tallet vi tippet) og får 3,875. Allerede nå har vi kvadratroten med to desimalers nøyaktighet.

Vil vi ha mer desimaler gjentar vi prosessen. Men nå bruker vi 3,875 i stedet for 4. (Desom dette blir for mye arbeid, kan vi velge f.eks. 3,9 -- poenget er at det nye tallet som vi «tipper på» er nærmere kvadratroten). Vi deler 15 på 3,875 og får 3,87097742. Gjennomsnittet mellom dette tallet og 3,875 er 3,87298387 som er korrekt opp til det 6. desimalet!

Neste spørsmål: hvorfor fungerer dette? For å vise dette generelt, lar vi tallet vi ønsker å finne kvadratroten til være x og det første tallet vi tipper på lik x₁. Vi får da en følge av tall gitt rekursivt ved formelen

x_n+1=(x/x_n+x_n)/2

Dersom denne følgen konvergerer mot c når n går mot uendelig, så får vi

c=(x/c+c)/2

Løser vi denne med hensyn på c får vi c²=x som ønsket. Men hvofor kan vi vite at følgen konvergerer? Dette kommer av at vi får

x₁ < x₂ <...<>n <...x

dersom x₁ er mindre enn kvadratroten av x.Vi har med andre ord en voksende og oventil begrenset følge. (Dersom x₁ er større enn kvadratroten av x får vi en avtagende følge som er nedentil begrenset). Denne er derfor konvergent ved kompletthetsaksiomet for reelle tall.

Hva er kvadratroten av 10 med tre deismalers nøyaktighet?