Pages

mandag 12. oktober 2009

Digitale verktøy i matematikklæring…?

Med bærbar pc på pulten har elevene større tilgang på digitale hjelpemidler enn med en vanlig kalkulator. På vår skole bruker vi følgende programmer i undervisningen: Excel, GeoGebra og wxMaxima. Foruten disse har også elevene kalkulator – de fleste en grafisk kalkulator.

I dette blogginnlegget vil jeg reflektere litt over bruken av slike verkøtøyprogram i forhold til elevenes læring av matematikk. Jeg vil ta for meg programmet wxMaxima og se på noen eksempler som belyser ulike utfordringer knyttet til ulike oppgavetyper elevene jobber med.

wxMaxima er et symbolmanipulerende verktøy. Det innebærer at du med dette kan finne eksakte løsninger på ulike oppgaver. Vil du løse liknikngen $x^3-2x+1=0$? Ingen problem. Du skriver likningen inn i programmet og klikker på OK og vips så får du ut de tre eksakte røttene: $x=1,x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2} , x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$image 

Hva har så dette med matematikk å gjøre? Svaret er ganske enkelt: ingen ting! Men dette betyr ikke at slike digitale verktøy er meningsløse i matematikklæring. Tverrt om! Poenget er at slike verktøy ikke er hensiktsmessige i elevens matematikklæring når det gjelder slike typer oppgaver. Jeg bruker en hovedregel i min undervisning at før elevene får bruke slike digitale vertøy i deres arbeid med matematikken, så skal de først ha jobbet med fagstoffet for hånd. I videregående har vi nå todelt eksamen, så det vektlegges at elevene skal kunne løse ulike oppgaver uten hjelpemidler. Det er først når dette er på plass at de digitale vertøyene tilbys. Så da blir det naturlige spøsrmålet: hvorfor det? Hvofor i det hele tatt tilby elevene slike vertøy?

Vi kan dele bruke av IKT i matematikkfaget i to grove kategorier:

  1. IKT som forenkler. Vi kan bruke IKT til å fornkle ulike oppgaver slik at vi slipper å bruke så mye tid til tekniske detaljer.
  2. IKT til nyskaping. Vi kan bruke digitale vertøy til nye typer oppgaver på en måte som ikke er mulig uten digitale vertøy.

I R2 skal elevene regne ut vektorprodukt til vektorer i rommet. Dette er litt styr og det er lett å gjøre en slurvefeil. Formelen for et slik produkt er $ [u_1, u_2, u_3]\times [v_1, v_2, v_3 = [u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1]$

Her kan det regnes som en velsignelse å kunne skrive dette inn i wxMaxima og få svaret rett ut:

image Ut kommer svaret: $\vec{u}\times\vec{v}=[16, -14, 10]$.

Hva så med den andre kategorien? Kan det tenkes at vi kan bruke digitale vektøy på nye typer oppgaver til elevene? Dette er en stor utfordring for matematikklærere! Hvilke oppgaver passer til våre elever? Hvor finner vi de ulike oppgavene? Hvordan jobbe med elevene? Jeg ser at følgende oppgave ofte blir gitt når elevne skal bruke digitale verktøy på i matematikkunderviningen:

La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkter. Velg to nullpunkt og la T være tangenten til f i x lik middelverdien til de to nullpunktene. Hva kan du si om denne tangenten?

Her er vi ute etter Lorents Bies setning som sier at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet.image 

Å oppdage denne sammenhengen er en ting. Dette synes jeg er lettest å gjøre i GeoGebra. Men å vise det generelt er en annen ting. Dette krever en annen form for matematisk kompetanse enn å løse ferdig oppstillte oppgaver. Ideelt sett er det en slik kompetanse vi vil at elevene skal få, ikke sant?  Men dette er lettere sagt enn gjort. Med fare for å ødelegge de som måtte få denne oppgaven, så viser jeg her hvordan jeg har løst oppgaven generelt ved hjelp av wxMaxima:

image

Her vil jeg si at vi får bruk for symbolmanipuleringen på en god måte. Resultatet er bevist. Vi har startet med et tredjegradsspolynom med tre nullpunkt a, b og c. Vi ha valgt to av nullpunkta (a og b) og vi har funnet tangenten i ((a+b)/2, f((a+b)/2)) og funnet nullpunktet til denne til å være c. Men å gjøre dette er langt i fra lett! Kan vi egentlig kreve dette av en elev i videregående skole?

Problemet dukket opp på eksamen i R1 i vår. På oppave 4, alternativ II fikk elevene en oppgave som dreiede seg om to fjerdegradsfunksjoner. Elevene skal finne vendepunktene S og T til grafen, finne linja som går gjennom vendepunkta og finne de to andre skjæringspunkta P og Q mellom linja og grafen. Så skal de regne ut forholdet mellom ST og TQ, der Q er skjæringspunktet lengst til høyre.

image

I de to eksemplene elevene jobbet med, går det fram at forholdet blir det samme, nemlig det gyldne snitt. Her kunne det være interessant å vise dette generelt, noe jeg har gjort i et tidligere blogginnlegg. Men i sensorveildeningen står det at dette ikke kreves for full uttelling. Hvorfor? Fordi det er å kreve for mye av elevene…

Hvorfor er det slik? Morten Blomhøj har i sin forsking identisfisert tre måter elevene bruker digitale verktøy:

  1. Den usikre og defensive elevvirksomheten
  2. Den løsningsoriterte elevvirksomheten
  3. Den reflekterende elevvirksomheten

Den første elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene kun har en instrumentell forståelse av ferdighetene jf likningen tidlig i dette blogginnlegget. Det klikkes og trykkes og ut kommer svara. Blomhøj skriver i artikkelen Læringsvilkår i datamskinbasert matematikkundervisning (i Matematikk for skolen, Barbro Grevholm red.):

Eleven fokuserer på å utvikle en instrumentell og prosessoirentert forsåelse, men de mangler ofte en grunnleggende forståelse av de matematiske objektene de arbeider med.

Den løsningsorienterte virksomeheten dreier seg om ytre forbindelser til det faglige innholdet i oppgavene. Her er det ikke forståelse som er viktig, men det å kunne klare å finne det rette svaret. Denne elevvirksomheten skiller seg ut fra den første ved at elevene er i stand til å formidle svarene sine på en faglig relevant måte. Her brukes IKT som forenkler.

Den reflekterte elevvirksomheten kjennetegnes ved at elevene vurdere ulike løsningsmetoder og er fleksible i forhold til disse. De driver med det som Schoenfeld kaller for monitoring. De overvåker sin egen løsniongsprosess og stiller seg selv spørsmål som: «Fører dette fram til svaret?» og «Hvorfor gjør vi dette? Finnes det en letter måte?»

Blomhøj skriver videre i sin artikkel:

Hvis undervisningen skal kunne støtte utvikloingen av en reflekterende elevvirksomhet, er det helt åpenbart nødvendig at elevene arbeider tilstrekkelig ofte med problemløsing, det vil si at de beskjeftiger seg med oppgaver som de er interessert i å løse, men som de ikke kan løse umiddelbart ved å bruke en metode som er velkjent for dem.

Dette er jeg hjertens enig i. Men jeg synes det er veldig vanskelig å få dette til i undervisningen. Det er to utfordringer som jeg spesielt vil nevne: den ene er problemet med å finne gode oppgaver som egner seg på de ulike trinn. Det må være oppgaver som passer til læreplan og fagstoff. Det er min erfaring at dette er noe som de fleste strever med. Den andre utfordringen er at dette vil nødvendigvis ta tid. Jeg kjenner pensumpresset er ganske stort i videregående skole og jeg skulle ønske at læreplangruppa hadde kuttet i hvertfall et hovedemne…

Blomhøj skriver at vi ikke har noen grunn til å forvente at innføring av datamskiner vil gi noen rasjonaliseringsgevinst i forhold til elevenes innlæring av det vanlige faglige innholdet. Men de vil lære seg å bruke digitale verktøy…

Hva er så konklusjonen på et litt lengre enn vanlig blogginnlegg? Å innføre digitale verktøy innebærer en didaktisk utfordring for læreren. Ved tradisjonelle oppgaver er det viktig å la elevene jobbe uten digitale vertøy for så å innføre vertøyene på et senere tidspunkt. Vi ønsker ikke at elevene kun skal ha en instrumentell forståelse, men vil ha refleksjoner og forståelse. Vi må kanskje tenke gjennom en gang til hva det vil si å ha en matematisk kompetanse…?!?

10 kommentarer:

  1. Utmerket innlegg :-)

    SvarSlett
  2. Har lest mykje av det du har skrive og du imponerer meg! Flott at du er oppteken av undervisninga i matematikkfaget og den digitale skulen. Dette er bra! Leif Helge

    SvarSlett
  3. Hei
    Interessant det du skriver, men løsningen dere har valgt er forhistorisk og langt unna en god digital arbeidsform.

    Vi kan diskutere lenge hva målet med digitale ferdigheter er - slik skolen også diskuterte det ved innføringen av faget Økonomi &Informasjonsbehandlingfaget i 1994.

    Det du totalt bommer på i din digitale løsning er filhverdagen elevene får som følge av programvalgene. Her blir det ingen digital effektivitet, kvalitetsheving eller ryddighet i løsningene - snarere tvert om.

    Geogebra er et flott og på mange måter et imponerende program - men det er lite/ikke egnet til oppgaveløsning med en forventet matematisk notasjon. At hver oppgave blir lagret som en fil er håpløst for elevene.

    WxMaxima er utrolig nok i live ennå - selv om det fortsatt har 1980-talls kommunikasjon med brukeren. Det har et grensesnitt som er uegnet for svake (si gjerne de fleste VG1 elever)og er med på å mystifisere triviell matematikk.

    I vestfold har vi valgt TI-nspire som er et moderne digitalt verktøy som ivaretar de fleste digitale behov ift læreplanene og alle de digitale kravene.

    Jeg oppfordrer derfor til å ha fokus på løsninger som er digitalt gode og stille krav til skoleeiere om at dette er nødvendig software i 2009.

    SvarSlett
  4. Flott med et kritiske innlegg fra Kjetil Idås. Det kan vi kanskje lære av. Jeg synes ikke alderen på et program har så mye å si. Om våre valg er forhistoriske vet jeg ikke, men det er ikke det viktigste! Jeg kan være enig i at det kunne være praktisk med alt i et dokument, slik det er i TI-Nspire, men synes ikke det er avgjørende. Problemet ligger ikke her, men i problembehandlingskompetansen til elevene. Hvilket program som brukes er kun et instrumentelt spørsmål. Den virkelige utfordringen ligger en annen plass.

    Er verktøy har liten verdi i seg selv. Det kommer an på hvordan vi jobber med det. Kunne du ikke heller gi eksempler på det?

    SvarSlett
  5. Softwarevalg må ikke undervurderes
    Du tar opp to poenger som jeg syntes er interessante - et programs alder og at verktøy har liten verdi i seg selv.

    Selvfølgelig er et programs alder interessant. Både fordi det garantert skal fungere på både nåtidens operativsystem og kommende - og fordi det skal ha et grensesnitt og en integrasjon mellom de ulike verktøyene. Jeg tror ingen lengter tilbake til den gang WP + Lotus + dBase utgjorde "Office-pakka". At en innfasing av softwear i en så sentralt fag som matematikk må gjøres slik at brukerterksel (Les: likt grensesnitt)og filstruktur er enkelt mener jeg er opplagt.

    At verktøy har liten verdi i seg selv - tja - det kommer an på hva vi egentlig diskuterer. Er det læring er jeg dels ening, men ift læreplanens bestilling blir dette helt feil. I læreplanarbeidet vektla vi at en digital kompetanse også har mye med effektivitet å gjøre. Det så vi siste på eksamen S1 våren 2008. Elevene som ikke hadde gode digitale verktøy - og behersket de - stilte rett og slett til start med feil skismøring.

    Derfor er et godt programvarevalg så viktig. Eleven bør stille til start med best mulig "ski og skismøring"!

    SvarSlett
  6. Hos oss synes det å være enighet om at TInspire er det beste programmet. Man får alt man vil på et sted, det eneste som savnes er mulighet for farger som i GeoGebra.
    Likevel velger vi ikke dette for våre elever fremover. Det har en eneste årsak:

    PRIS

    TInspire er bare så alt for dyrt. Og atter en gang må vi gjøre læremiddelvalg motivert av økonomi. Tragisk, men sant.

    SvarSlett
  7. Men hva er det som gjør TI-Inspiron bedre? Jeg vet ikke om jeg er helt enig i at en filtype og ett program er et avgjørende argument. Men at TI Inspiron forløpig har bedre funksjonalitet kan muligens være sant. Men det er et poeng at det er propitiært, og det innebærer mye stress når en elev-pc blir satt opp på nytt. En må da installere programmet på nytt, med lisenskode etc.

    En annen ting er dette med lukkethet. GeoGebra er et program som er i en rivende utvikling. Det er åpent, det har bra dokumentasjon, mange gode eksempler på wikier etc. Dette kan TI bare drømme om!

    SvarSlett
  8. Jeg tror de elevene som lærer seg mye forskjellig programvare ,og deretter kan velge riktig verktøy til problemstillingen de strever med, har et stort fortrinn senere. Dagens studenter må kunne sette seg inn i et nytt program relativt raskt, og kan bare drømme om annen introduksjon enn et kort innføringshefte på nett. På et studiespesialiserende program bør vi forberede elevene på en slik hverdag. Det gjør vi ikke ved å velge ett intuitivt program. Da får de kanskje gode karakterer på eksamen, men blir totalt frakjørt senere i forhold til de som virkelig kan navigere i programvare med eller uten appellerende grensesnitt.

    En elev som er interessert i data, ble tipset om et gratisprogram han kunne laste ned. Kommentaren hans var: "Spennende. Lurer på hva dette programmet kan gjøre for meg." Jeg tror det er holdningen vi må frembringe i elevene.

    SvarSlett
  9. Enig med Olav i at det er et mål at eleven selv skal kunne settes i stand til å velge hensiktsmessige verktøy. Dette vektlegger også læreplanen. I beskrivelsen av grunnleggende digitale ferdigheter i matematikk står det at digitale ferigheter i matematikk blant annet handler om å kunne kjenne til, bruke og vurdere digitale læremidler. Dette skjer ikke dersom vi holder oss til ett verktøy og ferdig med det...

    SvarSlett
  10. Valg av matematikkprogram - elevene velge selv?
    Markedet for matematikksoftware er fortsatt ungt - for å presisere: Matematikkprogram for leveler (glem Derive, Mathematica osv). Derfor lever også denne debatten.

    Jeg er unig i fler ting i de siste innleggene:
    1. TI-nspire er for dyrt
    Nei - det er faktisk rimelig ift annen software. Her må dere nok be fylkeskommunen gjøre en bedre forhanlingsjobb. Hos oss koster det mindre enmye annet på skolen.
    2. TI-nspire miljøene
    For de tre store teknologi leverandørene til matematikk: HP, Casio og TI er det pt ikke god butikk å selge software - kalkulatorer er fortsatt mye mer lønnsomt. Derfor hindres også utviklinen av godt matematikksoftware beregegnet på elever. Der er feil når Tor Espen sier at det er lite tilgjenglig/lite miljø knyttet til TI-nspire - det eksploderer. Følg med på TI's hjemmeside (... og husk TI-nspire er et ungt program - 2 år!)

    3. det jeg er mest uenig i er naiviteten knyttet til at det er fint at elevene finner et program og at det er en del at læreplanen. Det er beste fall misforstått. De som har vært involvert i læreplanarbeidet vet godt at det ikke var hensikten - snarere tvert imot: effektivitet.
    All forskning knyttet til teknologiakspet og implementasjon har ett svar: standardisering. Det kan være at for noen spesielt interesserte er det lærerikt å arbeidet litt eksperimentelt - men ikke for den store skare.

    Artig debatt - se hva jeg driver med på www.kjetil.wordpress.com

    SvarSlett

Kommentarer