Pages

mandag 17. januar 2011

Matematikk og skjønnhet

På engelsk tales det ofte om «the beauty in mathematics». Om ordet skjønnhet er en god oversettelse kan sikkert diskuteres, men hva ligger i en slik beskrivelse av faget? Filmen under viser en tolkning av dette:

The Fibonnacci suite in it's all beauty

En veldig bra laget film som viser hvordan Fibonacci-tallene går igjen i ulike sammenhenger i naturen. Filmen viser at matematikk fins i skjønnhet. Den viser ikke hvordan det gylne snitt er brukt i ulike kunstverk og arkitektur (som det blir).

Men det er en annen side ved faget som jeg ønsker at mine elever skal oppdage, nemlig skjønnheten i selve matematikkfaget. Matematikeren G. H. Hardy skriver om dette i sin bok A Mathematician's Apology:

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.

Her om dagen kom jeg over en fin side på wikipedia som tar for seg dette temaet: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty Her løftes balant annet fram skjønnheten i et bevis. Ja, du leste riktig. Et bevis kan være vakkert. Men alle beviser er ikke det. Du kan for eksempel vise at

tex:[[%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cleft%28%20%7B%5Cmatrix%7Bn%20%20%5Ccr%20k%20%20%5Ccr%20%7D%20%7D%20%5Cright%29%20%3D%202%5En%0D%0A]]

ved induksjon på n. Men du får et enda vakrere bevis ved å bruke binomialteoremet:

tex:[[%28x%2By%29%5En%20%3D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%20%5Cleft%28%20%7B%5Cmatrix%7B%20n%20%20%5Ccr%20%20k%20%20%5Ccr%20%7D%20%7D%20%5Cright%29%20x%5E%7Bn-k%7Dy%5Ek%0D%0A]]

og sette x=y=1. I filmen under beskriver en del matematikere hvordan du ser på matematiske bevis som vakre.

Is a Mathematical Proof Beautiful? - Mathematical Ethnographies series

Hva har dette å si for oss som er så heldige å få undervise i dette faget? Påvirker dette vårt syn på faget og hvordan vi jobber med matamatikk med elevene? Selvsagt gjør det det! Vi vil at elevene skal oppdage denne elegansen. Det kan være et vakkert bevis for pytagoras’ setning. Det kan være en flott måte å vise at summen av to partall er et partall. Eller (for matematikk X) at det fins uendelig mange primtall. Men jeg tror også det påvirker oss på hvordan vi velger å løse oppgaver. Det fins lette måter å løse oppgaver digitalt, men de er liksom ikke så vakre. Vi foretrekker ofte å vise ting ved regning (hva vi nå enn mener med dette).

 

Her er en oppgave du kan løse. Det fins en veldig elegant løsning og når du finner den (om du gjør ;-), så vil du smile og si at det var artig! Her er oppgaven:

Et tre er 20 meter høyt og har en omkrets på 3 meter. En plante slynger seg fint rundt treet syv ganger og går fra bunnen av treet og helt til tops. Hvor lang er dette planten?

Her er et annet problem som har en veldig elegant løsning:

Vis at 1+1/2+1/3+1/4+… divergerer.

Du kan vise dette ved å gruppere leddene på følgende måte:

S1=1/2

S2=1/3+1/4

S3=1/5+1/5+1/6+1/8

etc.

Sk har med andre ord tex:[[2%5E%7Bk-1%7D]] ledd og i hver av disse summen er det siste leddet minst. Det vil si at

tex:[[Sk%20%3E%202%5E%7Bk-1%7D%5Ccdot%201/2%5E%7Bk%7D%3D1/2%20%0D%0A]]. Dette viser igjen at hele den opprinnelige rekken er større enn

1 + 1/2+1/2 +… og siden dette er en divergent rekke, så må også rekken 1+1/2+1/3+… være det.

5 kommentarer:

  1. Hei stemmer det at planta er 29 meter ?

    SvarSlett
  2. Ja, det stemmer! Hvordan kom du fram til dette?

    SvarSlett
  3. det er klart at planta danner ein spiral om tre'et. Ein parametrisering for ein spiral med omkrets lik 3meter, som går rundt 7 ganger og når ein høyde 20 meter blir slik:
    \boldsymbol{r}(t) = (\frac{3}{2\pi} cos(t), \frac{3}{2\pi} sin(t),\frac{10t}{7\pi}) \quad t \in [0,14\pi]

    grunnet riemann summer og bla bla bla, er det god grunn til å definere buelengden til ei parametrisert kurve til å være \int ^b_a \sqrt{(x1'(t))^2 + (x2'(t))^2 + ...... + (xn'(t))^2} \, dt

    i dette tilfellet får me altså:
    \boldsymbol{r}'(t) = (-\frac{3}{2\pi}sin(t),\frac{3}{2\pi}cos(t),\frac{10}{7\pi}). Me får då buelengda =
    \int^{14\pi}_0 \sqrt((\frac{3}{2\pi})^2 + (\frac{10}{7\pi})^2 dt = \frac{29}{14\pi}\cdot 14\pi = 29.

    ein R2 elev ville kanskje ikkje dratt inn Riemann summer og buelengde, men heller funnet farten v(t) = \sqrt{(x1')^2 + (x2')^2 + (x3')^2}
    og så gjort samme integrasjonen som ovanfor. Uansett trur eg ikkje at det var denne løsningsmetoden du leita etter, ettersom eg ikkje synst den er serlig elegant.

    SvarSlett
  4. må forresten sei eg likte måten du viste 1 + 1/2 + 1/3 +.... divergerer. Har tidligare sett eit bevis som gjekk ut på å bruke middel-verdi setningen på ln(x) og så bruke induksjon til å vise at summen av dei n første ledda er større enn ln(n) eller noke slikt, men metoden ovanfor var definitivt meir elegant

    SvarSlett
  5. Når det gjelder planten, så kan du rulle den ut (se for deg en sånn rulle som du kan male med. Når du ruller den bort over gulvet, så vil en spiral brette seg ut til en rett linje.) Lengden på denne danner da en hypotenus i en rettvinklet trekant med katetene 20 og 3*7=21. Pytagoras gir derfor at lengden blir 29.

    ;-)

    SvarSlett

Kommentarer